e pede (a) resolver por escalonamento (Gaussian-Jordan simples) e (b) calcular det(boldsymbol A) usando a forma escalonada boldsymbol B e propriedades de determinantes. Para (a) vamos usar operações de linha que não alteram o determinante (somar múltiplos de uma linha a outra). Para (b) usaremos que trocar linhas muda sinal e multiplicar linha por escalar multiplica o determinante por esse escalar, mas aqui não faremos essas operações, só somas.
Passo 2
Primeiro, escrevemos a matriz aumentada e eliminamos a coluna 1 usando o pivô :
Aqui usei apenas , que não muda o determinante.
Passo 3
Agora o pivô da coluna 2 é em . Eliminamos abaixo:
Passo 4
O pivô da coluna 3 é em . Eliminamos em :
Como a última linha virou tudo zero, o sistema tem infinitas soluções.
Fazendo retro-substituição com parâmetro :
Para calcular det(boldsymbol A), note que usamos apenas operações Rj Rj - kRi, que não alteram o determinante. A forma escalonada boldsymbol B (sem a coluna de termos independentes) é triangular com diagonal 2,;0,5,;-2,;0. Logo,
det(boldsymbol A) = det(boldsymbol B) = 2 cdot 0,5 cdot (-2) cdot 0 = 0
Resposta
a) x1=-1+t,;x2=1-t,;x3=4+t,;x4=t,;tin R
b) det(boldsymbol A)=0.