Dado o sistema S1:l2 x1+x2+x3-2 x4=3 x1+x2+x3-x4=4 x1+x2-x3+x4=-4 x1-x2+x3-3 x4=2
a) obtenha a sua solução por escalonamento
b) calcule o determinante da matriz dos coeficientes (det(A)) a partir da matriz
B obtida do escalonamento de A (use propriedades de determinantes)

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear
S1 : 2x1 + x2 + x3 - 2x4 = 3, x1 + x2 + x3 - x4 = 4, x1 + x2 - x3 + x4 = -4, x1 - x2 + x3 - 3x4 = 2,
e pede (a) resolver por escalonamento (Gaussian-Jordan simples) e (b) calcular det(boldsymbol A) usando a forma escalonada boldsymbol B e propriedades de determinantes. Para (a) vamos usar operações de linha que não alteram o determinante (somar múltiplos de uma linha a outra). Para (b) usaremos que trocar linhas muda sinal e multiplicar linha por escalar multiplica o determinante por esse escalar, mas aqui não faremos essas operações, só somas.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a matriz aumentada e eliminamos a coluna 1 usando o pivô :
Aqui usei apenas , que não muda o determinante.

Passo 3

Agora o pivô da coluna 2 é em . Eliminamos abaixo:

Passo 4

O pivô da coluna 3 é em . Eliminamos em :
Como a última linha virou tudo zero, o sistema tem infinitas soluções.
Fazendo retro-substituição com parâmetro :

Passo 5

Portanto a solução geral é
boxed x1 &= -1 + t, x2 &= 1 - t, x3 &= 4 + t, x4 &= t, tin R

Passo 6

Para calcular det(boldsymbol A), note que usamos apenas operações Rj Rj - kRi, que não alteram o determinante. A forma escalonada boldsymbol B (sem a coluna de termos independentes) é triangular com diagonal 2,;0,5,;-2,;0. Logo,
det(boldsymbol A) = det(boldsymbol B) = 2 cdot 0,5 cdot (-2) cdot 0 = 0

Resposta

a) x1=-1+t,;x2=1-t,;x3=4+t,;x4=t,;tin R
b) det(boldsymbol A)=0.

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