Dadas as matrizes A e B a seguir:
A=[llll 1 & 4 & -8 & 4 0 & 2 & 1 & 4 ] ; B=[cccc 1 & 2 & -3 & 3 2 & -3 & 0 & 2 4 & -1 & 2 & 3 1 & 1 & 1 & 0 ]
Calcule o determinante de B pelo processo de triangulação.

Passo 1

O enunciado pede o determinante de B usando o processo de triangulação por operações elementares de linha. Lembrando que, ao fazer uma operação do tipo
Ri Ri + k,Rj,
o determinante não se altera; ao trocar duas linhas, o determinante muda de sinal; e ao multiplicar uma linha por um escalar, o determinante é multiplicado por esse escalar. Nosso objetivo é zerar os elementos abaixo da diagonal principal, obtendo uma matriz triangular superior, e então o determinante será o produto dos elementos da diagonal.

Passo 2

Começamos com
B = 1 & 2 & -3 & 3 2 & -3 & 0 & 2 4 & -1 & 2 & 3 1 & 1 & 1 & 0
Usamos o pivô b11=1 para eliminar as entradas da coluna 1 nas linhas 2, 3 e 4:
R2 & R2 - 2,R1 = (2,-3,0,2) -2(1,2,-3,3) = (0,-7,6,-4), R3 & R3 - 4,R1 = (4,-1,2,3) -4(1,2,-3,3) = (0,-9,14,-9), R4 & R4 - R1 = (1,1,1,0) - (1,2,-3,3) = (0,-1,4,-3)
Agora a matriz é
1 & 2 & -3 & 3 0 & -7 & 6 & -4 0 & -9 & 14 & -9 0 & -1 & 4 & -3

Passo 3

O próximo pivô é b22=-7. Eliminamos abaixo dele nas linhas 3 e 4:
R3 & R3 - 97,R2 = (0,-9,14,-9) - 97(0,-7,6,-4) = l(0,0,tfrac447,-tfrac277r), R4 & R4 - 17,R2 = (0,-1,4,-3) - tfrac17(0,-7,6,-4) = l(0,0,tfrac227,-tfrac177r)
A matriz fica
1 & 2 & -3 & 3 0 & -7 & 6 & -4 0 & 0 & tfrac447 & -tfrac277 0 & 0 & tfrac227 & -tfrac177

Passo 4

Usamos o pivô b33=tfrac447 para zerar o elemento abaixo, em R4:
R4 R4 - tfrac227tfrac447,R3 = l(0,0,tfrac227,-tfrac177r) - tfrac12l(0,0,tfrac447,-tfrac277r) = l(0,0,0,-tfrac12r)
Agora temos a forma triangular superior
1 & * & * & * 0 & -7 & * & * 0 & 0 & tfrac447 & * 0 & 0 & 0 & -tfrac12

Passo 5

Não fizemos trocas de linhas nem multiplicações de linha por escalares, apenas somas de múltiplos, então o determinante de B é o produto dos pivôs:
det(B) = 1 times (-7)times tfrac447times l(-tfrac12r) = 1cdot(-7)cdot447cdotl(-tfrac12r) = 22

Resposta

det(B)=22

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