Dadas A in M3 times 2(R) e B in M2(R); onde ai j=2 i+j e bi j=-i+j.
Compare (A B)^t com as matrizes produto do item anterior.

Passo 1

O enunciado nos dá duas matrizes
A in M3times 2(R) e B in M2(R) cujas entradas são
aij = 2 cdot i + j, bij = -i + j
Queremos comparar a transposta do produto AB, isto é (AB)^t, com os produtos envolvendo as transpostas de A e B. O conteúdo que vamos usar é a propriedade
(AB)^t = B^t A^t

Passo 2

Primeiro, montamos A e B explicitamente usando as fórmulas dadas. Para i=1,2,3 e j=1,2,
A = 2cdot1+1 & 2cdot1+2 2cdot2+1 & 2cdot2+2 2cdot3+1 & 2cdot3+2 = 3 & 4 5 & 6 7 & 8 ,
e para i=1,2 e j=1,2,
B = -1+1 & -1+2 -2+1 & -2+2 = 0 & 1 -1 & 0

Passo 3

Calculamos o produto AB (matriz 3times2 vezes matriz 2times2):
AB = 3cdot0 + 4cdot(-1) & 3cdot1 + 4cdot0 5cdot0 + 6cdot(-1) & 5cdot1 + 6cdot0 7cdot0 + 8cdot(-1) & 7cdot1 + 8cdot0 = -4 & 3 -6 & 5 -8 & 7

Passo 4

A transposta de AB é a matriz 2times3 obtida trocando linhas por colunas:
(AB)^t = -4 & -6 & -8 3 & 5 & 7

Passo 5

Agora calculamos as transpostas de A e de B:
A^t = 3 & 5 & 7 4 & 6 & 8 , B^t = 0 & -1 1 & 0

Passo 6

Multiplicamos B^t ( 2times2) por A^t ( 2times3):
B^tA^t = 0cdot3 + (-1)cdot4 & 0cdot5 + (-1)cdot6 & 0cdot7 + (-1)cdot8 1cdot3 + 0cdot4 & 1cdot5 + 0cdot6 & 1cdot7 + 0cdot8 = -4 & -6 & -8 3 & 5 & 7

Passo 7

Comparando
(AB)^t = -4 & -6 & -8 3 & 5 & 7 e B^tA^t = -4 & -6 & -8 3 & 5 & 7 ,
vemos que elas coincidem, confirmando a propriedade (AB)^t=B^tA^t.

Resposta

As duas matrizes são idênticas, ou seja,
(AB)^t=B^tA^t

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