Dadas A in M3 times 2(R) e B in M2(R); onde ai j=2 i+j e bi j=-i+j.
Determine A^t, B^t e calcule A^t B^t e B^t A^t

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes
A in M3 times 2(R) com entradas
aij = 2,i + j, i=1,2,3,;j=1,2
e
B in M2(R) com entradas
bij = -,i + j, i,j=1,2
Pede-se achar as transpostas A^t, B^t e calcular os produtos A^t B^t e B^t A^t. Vamos usar a definição de transposta e o critério de conformidade de dimensões para produto de matrizes.

Passo 2

Primeiro montamos A explicitamente. Para i=1,2,3 e j=1,2:
A = 2cdot1+1 & 2cdot1+2 [6pt] 2cdot2+1 & 2cdot2+2 [6pt] 2cdot3+1 & 2cdot3+2 = 3 & 4 [3pt] 5 & 6 [3pt] 7 & 8
A transposta A^t in M2 times 3(R) é obtida trocando linhas por colunas:
A^t = 3 & 5 & 7 [3pt] 4 & 6 & 8 ]

Passo 3

Agora B é 2times 2 com
b11 = -1+1 = 0, b12 = -1+2 = 1,
b21 = -2+1 = -1, b22 = -2+2 = 0,
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B = 0 & 1 [3pt] -1 & 0
A transposta B^t in M2 times 2(R) é
B^t = 0 & -1 [3pt] 1 & 0 ]

Passo 4

Para multiplicar A^t B^t, A^t é 2times 3 e B^t é 2times 2. Como o número de colunas de A^t ( 3) é diferente do número de linhas de B^t ( 2), o produto
A^t B^t
não está definido em M(R).

Passo 5

Para B^t A^t, B^t é 2times 2 e A^t é 2times 3; as dimensões conferem ( 2=2), então o produto está definido e resulta em uma 2times 3. Calculamos cada entrada por combinação de linhas de B^t com colunas de A^t:
B^t A^t = 0 & -1 [3pt] 1 & 0 3 & 5 & 7 [3pt] 4 & 6 & 8 = 0cdot3 + (-1)cdot4 & 0cdot5 + (-1)cdot6 & 0cdot7 + (-1)cdot8 [6pt] 1cdot3 + 0cdot4 & 1cdot5 + 0cdot6 & 1cdot7 + 0cdot8 = -4 & -6 & -8 [3pt] 3 & 5 & 7 ]

Resposta

A^t = 3 & 5 & 7 4 & 6 & 8
B^t = 0 & -1 1 & 0
A^{t} B^{t} não está definido (incompatibilidade de dimensões).
B^t A^t = -4 & -6 & -8 [3pt] 3 & 5 & 7.]

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