Dizemos que uma matriz quadrada é nilpotente se, e somente se, existe um inteiro tal que (matriz nula). Mostre que é uma matriz nilpotente.
Passo 1
O enunciado dá a matriz quadrada DinR^4times4 e pede para mostrar que existe um inteiro l tal que D^l=0. O conteúdo envolvido é o de matrizes nilpotentes e potências de matrizes.
Passo 2
Lembramos que uma matriz estritamente triangular superior (todos os elementos na diagonal principal e abaixo dela são zero) é sempre nilpotente de índice no máximo igual à ordem da matriz. Aqui, D é estritamente triangular superior, portanto já sabemos que D^4=0. Ainda assim, vamos calcular potências menores para encontrar o menor l.
Passo 3
Calculamos D^2=Dcdot D. Pelo produto de matrizes, não há contribuições para as primeiras duas colunas nem para colunas acima da 4ª menos a 4ª. O resultado é