Dizemos que uma matriz quadrada N neq 0 é nilpotente se, e somente se, existe um inteiro I tal que N^l=0 (matriz nula). Mostre que D=[llll0 & 0 & 1 & 1 0 & 0 & 1 & 1 0 & 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 & 0]4 times 4 é uma matriz nilpotente.

Passo 1

O enunciado dá a matriz quadrada DinR^4times4 e pede para mostrar que existe um inteiro l tal que D^l=0. O conteúdo envolvido é o de matrizes nilpotentes e potências de matrizes.

Passo 2

Lembramos que uma matriz estritamente triangular superior (todos os elementos na diagonal principal e abaixo dela são zero) é sempre nilpotente de índice no máximo igual à ordem da matriz. Aqui, D é estritamente triangular superior, portanto já sabemos que D^4=0. Ainda assim, vamos calcular potências menores para encontrar o menor l.

Passo 3

Calculamos D^2=Dcdot D. Pelo produto de matrizes, não há contribuições para as primeiras duas colunas nem para colunas acima da 4ª menos a 4ª. O resultado é
D^2 ;=; 0 & 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0

Passo 4

Agora fazemos D^3 = D^2 cdot D. Observamos que D^2 só tem possíveis não-zeros na coluna 4, mas a linha 4 de D é toda zero. Logo
D^3 = D^2cdot D = 04times4

Passo 5

Encontramos que D^3=0. Portanto existe inteiro l=3 tal que D^l=0, isto é, D é nilpotente.

Resposta

Como D^3=0, a matriz D é nilpotente (índice de nilpotência igual a 3).

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