Uma matriz A in Mn(R) é dita idempotente se, e somente se, valer a igualdade A^2=A A=A. Dê exemplo de dois elementos idempotentes em Mn(R).

Passo 1

O enunciado pede para dar dois exemplos de matrizes idempotentes em Mn(R). Uma matriz A é idempotente se satisfaz
A^2=A
Para resolver, basta escolher duas matrizes conhecidas que satisfaçam essa propriedade.

Passo 2

Considere a matriz nula 0ntimes n, cujos elementos são todos zero. Como a multiplicação por zero anula tudo, temos
0ntimes n,0ntimes n = 0ntimes n,
logo 0ntimes n é idempotente.

Passo 3

Considere a matriz identidade In, que tem 1 na diagonal principal e 0 em todas as outras posi\c{c}~oes. Pela propriedade da identidade,
In cdot In = In,
ent~ao In tamb’em 'e idempotente.

Resposta

0ntimes n e In são exemplos de matrizes idempotentes em Mn(R).

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