Dadas as permutações:
sigma=(lll 1 & 2 & 3 2 & 3 & 1 ), eta=(lll 1 & 2 & 3 1 & 3 & 2 )
calcule sigma^2, sigma^3, eta^2, eta sigma e sigma eta.

Passo 1

O enunciado nos dá duas permutações em S3:
sigma = 1 & 2 & 3 2 & 3 & 1, eta = 1 & 2 & 3 1 & 3 & 2,
e pede para calcular sigma^2, sigma^3, eta^2, etasigma e sigmaeta.
O conteúdo aqui é composição de permutações e potência de uma permutação, lembrando que (alphabeta)(i)=alpha(beta(i)) e pi^k=picircpicirccdotscircpi k vezes.

Passo 2

Calcular sigma^2=sigmacircsigma. Para cada iin1,2,3:
sigma^2(i)=sigmal(sigma(i)r)
Logo,
sigma^2(1)=sigma(2)=3, sigma^2(2)=sigma(3)=1, sigma^2(3)=sigma(1)=2
Em notação de duas linhas:
sigma^2 = 1 & 2 & 3 3 & 1 & 2

Passo 3

Calcular sigma^3=sigma^2circsigma. Mas como sigma é o ciclo (1,2,3), sabe‐se que sigma^3 é a identidade. Confirmando:
sigma^3(i)=sigmal(sigma^2(i)r)=iforall i,
ou seja
sigma^3 = 1 & 2 & 3 1 & 2 & 3

Passo 4

Calcular eta^2=etacirceta. Como eta troca apenas 2 com 3 (é o transposição (2,3)), ter
eta^2(i)=iforall i,
isto é
eta^2 = 1 & 2 & 3 1 & 2 & 3

Passo 5

Calcular etasigma=etacircsigma. Para cada i:
(etasigma)(i)=etal(sigma(i)r)
Logo,
(etasigma)(1)=eta(2)=3, (etasigma)(2)=eta(3)=2, (etasigma)(3)=eta(1)=1
Em duas linhas:
etasigma = 1 & 2 & 3 3 & 2 & 1

Passo 6

Calcular sigmaeta=sigmacirceta. Para cada i:
(sigmaeta)(i)=sigmal(eta(i)r)
Logo,
(sigmaeta)(1)=sigma(1)=2, (sigmaeta)(2)=sigma(3)=1, (sigmaeta)(3)=sigma(2)=3
Em duas linhas:
sigmaeta = 1 & 2 & 3 2 & 1 & 3

Resposta

sigma^2 = 1 & 2 & 3 3 & 1 & 2, sigma^3 = 1 & 2 & 3 1 & 2 & 3, eta^2 = 1 & 2 & 3 1 & 2 & 3,
etasigma = 1 & 2 & 3 3 & 2 & 1, sigmaeta = 1 & 2 & 3 2 & 1 & 3

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