Seja e o elemento neutro do grupo G e seja H um subgrupode G. Mostre que:
(a) e H=H
(b) a in a H para todo a in G

Passo 1

O enunciado trabalha com grupos e subgrupos. Temos um grupo G com elemento neutro e e um subgrupo H<= G. Vamos usar a definição de coseta à esquerda:
aH = ,a h mid hin H
Com isso, em (a) queremos mostrar que a coseta eH coincide com H, e em (b) que para todo ain G vale ain aH.

Passo 2

Provar que eH=H fazendo duas inclusões:
  1. Se xin eH, então existe hin H tal que x = e,h. Como e é neutro, e,h = h. Logo x = hin H. Assim eHsubseteq H.
  2. Se hin H, como ein G e H é subgrupo, ein H. Então
h = e,h in eH
Isso mostra Hsubseteq eH.
Com as duas inclusões concluímos eH = H.

Passo 3

Para mostrar que ain aH para todo ain G, basta observar que ein H. Logo
a = a,e in a,h mid hin H = aH

Resposta

(a) eH = H
(b) Para todo ain G, ain aH.

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