Seja
o elemento neutro do grupo
e seja
um subgrupode
. Mostre que:
(a)
(b)
para todo
(a)
(b)
Passo 1
O enunciado trabalha com grupos e subgrupos. Temos um grupo
com elemento neutro
e um subgrupo
. Vamos usar a definição de coseta à esquerda:
Com isso, em (a) queremos mostrar que a coseta
coincide com
, e em (b) que para todo
vale
.
Passo 2
Provar que
fazendo duas inclusões:
-
Se
, então existe tal que . Como é neutro, . Logo . Assim . -
Se
, como e é subgrupo, . Então
Isso mostra
.
Com as duas inclusões concluímos
.
Passo 3
Para mostrar que
para todo
, basta observar que
. Logo
Resposta
(a)
(b) Para todo ,
.
(b) Para todo