Dê exemplo de três grupos diferentes com oito elementos cada. Explique por que eles são diferentes.
Passo 1
O enunciado pede três exemplos de grupos de ordem oito, mostrando que não são isomorfos. O conteúdo envolvido é a classificação de grupos abelianos finitos — em particular, todos os grupos abelianos de ordem
— e o uso de invariantes como existência de elemento de ordem máxima e exponente. Para resolver, vamos escolher três grupos abelianos não isomorfos de ordem
e comparar propriedades que provam a não-isomorfia.
Passo 2
Considere o grupo cíclico
. Ele é definido por
com a operação de adição módulo . Como há um elemento de ordem
(por exemplo
), esse grupo é gerado por
e seu exponente é
.
com a operação de adição módulo
Passo 3
Considere o produto direto
. Seus elementos são pares
com
e
, com operação componente a componente módulo
e módulo
. Nesse grupo não existe elemento de ordem
, mas existem elementos de ordem
, por isso o exponente é
e o grupo não é cíclico.
Passo 4
Considere o produto direto
. Aqui todos os elementos não-identidade têm ordem
, logo o exponente é
e não há elementos de ordem maior. Esse grupo também não é cíclico e tem estrutura de espaço vetorial de dimensão
sobre
.
Passo 5
Para ver que não há isomorfismos entre esses três grupos, note:
.
tem elemento de ordem
; os outros não.
.
tem elementos de ordem
, mas nenhum de ordem
; já
só tem elementos de ordem
.
.
tem exponente
, diferente de
e
. Esses invariantes (ordem máxima de elemento e exponente) impedem isomorfismos.
Resposta
(a)
, pois é cíclico e possui elemento de ordem
.\n(b)
, pois não é cíclico e tem elementos de ordem
mas nenhum de ordem
.\n(c)
, pois todos os elementos não-identidade têm ordem
.