Dê exemplo de três grupos diferentes com oito elementos cada. Explique por que eles são diferentes.

Passo 1

O enunciado pede três exemplos de grupos de ordem oito, mostrando que não são isomorfos. O conteúdo envolvido é a classificação de grupos abelianos finitos — em particular, todos os grupos abelianos de ordem 8 — e o uso de invariantes como existência de elemento de ordem máxima e exponente. Para resolver, vamos escolher três grupos abelianos não isomorfos de ordem 8 e comparar propriedades que provam a não-isomorfia.

Passo 2

Considere o grupo cíclico Z8. Ele é definido por
Z8 = [0],[1],dots,[7]
com a operação de adição módulo 8. Como há um elemento de ordem 8 (por exemplo [1]), esse grupo é gerado por [1] e seu exponente é 8.

Passo 3

Considere o produto direto Z4 times Z2. Seus elementos são pares (a,b) com ain0,1,2,3 e bin0,1, com operação componente a componente módulo 4 e módulo 2. Nesse grupo não existe elemento de ordem 8, mas existem elementos de ordem lcm(4,2)=4, por isso o exponente é 4 e o grupo não é cíclico.

Passo 4

Considere o produto direto Z2 times Z2 times Z2. Aqui todos os elementos não-identidade têm ordem 2, logo o exponente é 2 e não há elementos de ordem maior. Esse grupo também não é cíclico e tem estrutura de espaço vetorial de dimensão 3 sobre F2.

Passo 5

Para ver que não há isomorfismos entre esses três grupos, note:
1. Z8 tem elemento de ordem 8; os outros não.
2. Z4 times Z2 tem elementos de ordem 4, mas nenhum de ordem 8; já Z2^3 só tem elementos de ordem 2.
3. Z2^3 tem exponente 2, diferente de 4 e 8. Esses invariantes (ordem máxima de elemento e exponente) impedem isomorfismos.

Resposta

(a) Z8, pois é cíclico e possui elemento de ordem 8.\n(b) Z4 times Z2, pois não é cíclico e tem elementos de ordem 4 mas nenhum de ordem 8.\n(c) Z2 times Z2 times Z2, pois todos os elementos não-identidade têm ordem 2.

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