Determine se a sequência é convergente ou divergente. Se for convergente, encontre seu limite.
an=n sen(n)n^2+1

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência
an = nsin(n)n^2+1,
pede para determinar se (an) é convergente e, em caso afirmativo, encontrar o seu limite. O conteúdo aqui é limites de sequências e, em particular, usaremos o fato de que sin(n) é uma função limitada por -1 e 1, além do Teorema do Confronto (ou Squeeze).

Passo 2

Observamos que, para todo n, vale
l|sin(n)r|<=1
e, portanto,
l|anr| = |nsin(n)n^2+1| <= ncdot 1n^2+1 < nn^2 = 1n

Passo 3

Como sabemos que
limntoinfty1n=0,
pelo Teorema do Confronto segue que
limntoinftyan=0
Logo, a sequência é convergente.

Resposta

A sequência (an) é convergente e
limntoinftyan=0

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