Dadas as primitivas das curvas f(x, y, c)=0, determine a equação diferencial de primeira ordem para cada familia de curvas integrais:
x+y=c e^x-y

Passo 1

Então, a gente tem uma família de curvas definida pela equação x + y = c , e^x - y . Nosso objetivo é encontrar a equação diferencial de primeira ordem que representa essa família. Para isso, vamos precisar saber como trabalhar com famílias de curvas e como derivar equações diferenciais a partir delas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que uma família de curvas geralmente contém uma constante (neste caso, c ) que precisamos eliminar para encontrar a equação diferencial. A equação que temos é:
x + y = c , e^x - y

Passo 3

Nosso próximo passo é derivar ambos os lados da equação em relação a x para envolver a derivada dydx . Vamos fazer isso:
ddx(x) + ddx(y) = ddx( c , e^x - y )
Isso resulta em:
1 + dydx = c , e^x - y (1 - dydx)

Passo 4

Agora, vamos resolver essa equação para dydx . Primeiro, distribua o termo à direita:
1 + dydx = c , e^x - y - c , e^x - y dydx
Em seguida, traga todos os termos com dydx para um lado:
dydx + c , e^x - y dydx = c , e^x - y - 1
Fatore dydx :
dydx (1 + c , e^x - y) = c , e^x - y - 1

Passo 5

Agora, isolamos dydx :
dydx = c , e^x - y - 11 + c , e^x - y

Passo 6

Lembrando que originalmente temos x + y = c , e^x - y , podemos substituir c , e^x - y por x + y :
dydx = (x + y) - 11 + (x + y)
Simplificando:
dydx = x + y - 1x + y + 1

Resposta

A equação diferencial de primeira ordem para a família de curvas é:
dydx = x + y - 1x + y + 1

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