Dadas as primitivas das curvas
, determine a equação diferencial de primeira ordem para cada familia de curvas integrais:
Passo 1
Então, a gente tem uma família de curvas definida pela equação
. Nosso objetivo é encontrar a equação diferencial de primeira ordem que representa essa família. Para isso, vamos precisar saber como trabalhar com famílias de curvas e como derivar equações diferenciais a partir delas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que uma família de curvas geralmente contém uma constante (neste caso,
) que precisamos eliminar para encontrar a equação diferencial. A equação que temos é:
Passo 3
Nosso próximo passo é derivar ambos os lados da equação em relação a
para envolver a derivada
. Vamos fazer isso:
Isso resulta em:
Passo 4
Agora, vamos resolver essa equação para
. Primeiro, distribua o termo à direita:
Em seguida, traga todos os termos com
para um lado:
Fatore
:
Passo 5
Agora, isolamos
:
Passo 6
Lembrando que originalmente temos
, podemos substituir
por
:
Simplificando:
Resposta
A equação diferencial de primeira ordem para a família de curvas é: