Dadas as primitivas das curvas
, determine a equação diferencial de primeira ordem para cada familia de curvas integrais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema nos dá uma família de curvas definida por
e pede para encontrarmos a equação diferencial de primeira ordem que representa essa família. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a forma de eliminar o parâmetro
e obter uma relação envolvendo apenas
,
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos isolar o parâmetro
na equação dada. A equação original é:
Resolvendo para
:
Passo 3
Agora, vamos derivar ambos os lados da equação original em relação a
. Lembre-se que
é uma constante, então sua derivada será zero.
Aplicando a derivada:
Passo 4
Substituímos o valor de
que encontramos no Passo 2 na equação acima:
Simplificando:
Passo 5
Vamos reorganizar a equação para isolar os termos que contêm
:
Fatorando
:
Passo 6
Resolvendo para
:
Simplificando os termos:
Podemos reescrever para melhorar a aparência:
Resposta
A equação diferencial de primeira ordem para a família de curvas dada é: