Dadas as primitivas das curvas f(x, y, c)=0, determine a equação diferencial de primeira ordem para cada familia de curvas integrais:
x^3 y^2-c e^y=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema nos dá uma família de curvas definida por x^3 y^2 - c e^y = 0 e pede para encontrarmos a equação diferencial de primeira ordem que representa essa família. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a forma de eliminar o parâmetro c e obter uma relação envolvendo apenas x , y e dydx .

Passo 2

Primeiro, vamos isolar o parâmetro c na equação dada. A equação original é:
x^3 y^2 - c e^y = 0
Resolvendo para c :
c = x^3 y^2e^y

Passo 3

Agora, vamos derivar ambos os lados da equação original em relação a x . Lembre-se que c é uma constante, então sua derivada será zero.
ddx(x^3 y^2) - ddx(c e^y) = 0
Aplicando a derivada:
3x^2 y^2 + x^3 cdot 2y cdot dydx - c e^y cdot dydx = 0

Passo 4

Substituímos o valor de c que encontramos no Passo 2 na equação acima:
3x^2 y^2 + 2x^3 y dydx - ( x^3 y^2e^y ) e^y dydx = 0
Simplificando:
3x^2 y^2 + 2x^3 y dydx - x^3 y^2 dydx = 0

Passo 5

Vamos reorganizar a equação para isolar os termos que contêm dydx :
2x^3 y dydx - x^3 y^2 dydx = -3x^2 y^2
Fatorando dydx :
dydx (2x^3 y - x^3 y^2) = -3x^2 y^2

Passo 6

Resolvendo para dydx :
dydx = -3x^2 y^22x^3 y - x^3 y^2
Simplificando os termos:
dydx = -3y^2x(2 - y)
Podemos reescrever para melhorar a aparência:
dydx = 3y(y - 2)x

Resposta

A equação diferencial de primeira ordem para a família de curvas dada é:
dydx = 3y(y - 2)x

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