Questão 20 (Mínima distância à origem). Encontre a mínima distância da superfície x^2-y^2-z^2=1 à origem.

Passo 1

O enunciado pede a mínima distância da origem ao conjunto de pontos (x,y,z) que satisfazem
x^2-y^2-z^2=1
Isso é um problema de otimização com restrição. Para evitar a raiz quadrada na distância, vamos minimizar a função distância ao quadrado
D(x,y,z)=x^2+y^2+z^2
sujeita à restrição
g(x,y,z)=x^2-y^2-z^2-1=0

Passo 2

Aplicamos o método de multiplicadores de Lagrange. Definimos
L(x,y,z,lambda)=x^2+y^2+z^2-lambdal(x^2-y^2-z^2-1r)
As condições de extremo são
partial Lpartial x=0, partial Lpartial y=0, partial Lpartial z=0, partial Lpartial lambda=0
Calculamos as derivadas:
partial Lpartial x=2x-2lambda x=0, partial Lpartial y=2y+2lambda y=0, partial Lpartial z=2z+2lambda z=0,
partial Lpartial lambda=-(x^2-y^2-z^2-1)=0

Passo 3

Das equações
2x(1-lambda)=0, 2y(1+lambda)=0, 2z(1+lambda)=0, x^2-y^2-z^2=1,
temos as possibilidades:
  • Se lambda=1, então y(1+1)=2y=0 e z(1+1)=2z=0 implicam y=0 e z=0. A restrição vira
    x^2=1,
    logo x=pm1.
  • Se lambda=-1, então x(1-(-1))=2x=0 x=0. A restrição seria
    0 - y^2-z^2=1Longrightarrow y^2+z^2=-1,
    sem solução real.
Portanto, os únicos candidatos são
(x,y,z)=(pm1,0,0) .

Passo 4

Para (x,y,z)=(pm1,0,0), a distância ao quadrado é
D=(pm1)^2+0^2+0^2=1,
logo a distância é
raizD=raiz1=1

Resposta

A mínima distância da superfície à origem é 1.

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