Questão 20 (Mínima distância à origem). Encontre a mínima distância da superfície
à origem.
Passo 1
O enunciado pede a mínima distância da origem ao conjunto de pontos
que satisfazem
Isso é um problema de otimização com restrição. Para evitar a raiz quadrada na distância, vamos minimizar a função distância ao quadrado
sujeita à restrição
Passo 2
Aplicamos o método de multiplicadores de Lagrange. Definimos
As condições de extremo são
Calculamos as derivadas:
Passo 3
Das equações
temos as possibilidades:
-
Se
, então e implicam e . A restrição vira logo. -
Se
, então dá . A restrição seria sem solução real.
Portanto, os únicos candidatos são
.
Passo 4
Para
, a distância ao quadrado é
logo a distância é
Resposta
A mínima distância da superfície à origem é
.