Determine os valores de alpha e beta para que:
lim x infty x^2-1x+1-alpha x-beta=0

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos constantes alpha e beta tais que
limx to infty x^2-1x+1 ;-;alpha x ;-;beta ;=;0
Aqui o conteúdo é análise de limites no infinito e uso de divisão de polinômios para achar o comportamento assintótico de uma função racional.

Passo 2

Vamos fazer a divisão de polinômios de tfracx^2-1x+1. Queremos escrever
x^2-1x+1
na forma “quociente + resto /(divisor)”. Note que
(x+1)(x-1)=x^2-1,
logo não há resto, e
x^2-1x+1=x-1

Passo 3

Substituindo na expressão do limite, temos
x^2-1x+1-alpha x-beta = (x-1)-alpha x - beta = (1-alpha),x + (-1-beta)
Para que
limxtoinftyl[(1-alpha),x +(-1-beta)r]=0,
é preciso eliminar tanto o termo em x quanto o termo constante.

Passo 4

A condição de que não reste termo em x é
1-alpha=0Longrightarrow alpha=1,
e a de que não reste constante é
-1-beta=0Longrightarrow beta=-1

Resposta

alpha=1 e beta=-1.

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