Dadas as retas r: x-11=y-2-1=z+32 e s: x-14=y-22=z+31, obter:
o plano que contém r e s.

Passo 1

O enunciado dá duas retas em forma simétrica:
r:x-11=y-2-1=z+32, s:x-14=y-22=z+31,
e pede a equação do plano que contém ambas. O conteúdo aqui é geometria analítica no espaço, mais especificamente: a reta define um ponto e um vetor diretor, e duas retas concorrentes determinam um plano.

Passo 2

Vamos extrair de cada reta um ponto e um vetor diretor.
Para r, o parâmetro t satisfaz
,x=1+t,;y=2-t,;z=-3+2t,
logo um ponto em r é
A=(1,2,-3)
e o vetor diretor é
v=(1,-1,2)
Para s, o parâmetro u satisfaz
,x=1+4u,;y=2+2u,;z=-3+u,
logo o mesmo ponto
A=(1,2,-3)
e o vetor diretor
w=(4,2,1)

Passo 3

Como ambas as retas compartilham o ponto A, elas se intersectam em A. Isso garante que existe um único plano que contém r e s, pois basta o ponto comum A e os dois vetores diretores v e w.

Passo 4

O vetor normal n ao plano é dado pelo produto vetorial
n=vtimesw = i&j&k 1&-1&2 4&2&1 =-5,i+7,j+6,k,
ou seja,
n=(-5,7,6)

Passo 5

A equação do plano que passa por A=(1,2,-3) e tem normal n=(-5,7,6) é
ncdotl((x,y,z)-Ar)=0
-5(x-1)+7(y-2)+6(z+3)=0
Expandindo,
-5x+5+7y-14+6z+18=0 Longrightarrow -5x+7y+6z+9=0
Multiplicando por -1, fica
5x - 7y - 6z - 9 = 0

Resposta

A equação do plano que contém r e s é
5x - 7y - 6z - 9 = 0

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