Uma esfera é tangenciada pelos planos alpha: 2 x+2 y+z-1=0 e beta: 4 x+4 y+2 z-1=0. Determine seu volume.

Passo 1

O enunciado diz que há uma esfera que é tangenciada pelos planos
alpha:2x+2y+z-1=0 e beta:4x+4y+2z-1=0.
Para resolver, vamos usar o fato de que, se dois planos são paralelos e uma esfera é tangente a ambos, então o diâmetro da esfera é igual à distância entre os planos. Precisaremos (1) verificar que os planos são paralelos, (2) calcular a distância entre eles e (3) obter o raio e, por fim, o volume da esfera.

Passo 2

Primeiro observe que o vetor normal de beta é (4,4,2)=2,(2,2,1), o mesmo de alpha, logo os planos são paralelos. Basta dividir a equação de beta por 2 para comparar constantes:
beta:2x+2y+z-tfrac12=0
A distância entre
alpha:2x+2y+z-1=0 e
beta:2x+2y+z-tfrac12=0
é dada por
d=l|(-1)-l(-tfrac12r)r|raiz2^2+2^2+1^2 =tfrac123 =tfrac16

Passo 3

Como a esfera é tangente a ambos, seu diâmetro vale d. Portanto o raio é
r=d2=1/62=112

Passo 4

O volume de uma esfera de raio r é
V=43,pi,r^3
Substituindo r=tfrac112, temos
V =43,pil(tfrac112r)^3 =43,pi;11728 =4pi5184 =pi1296

Resposta

V=pi1296

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