Uma esfera é tangenciada pelos planos e . Determine seu volume.
Passo 1
O enunciado diz que há uma esfera que é tangenciada pelos planos e .
Para resolver, vamos usar o fato de que, se dois planos são paralelos e uma esfera é tangente a ambos, então o diâmetro da esfera é igual à distância entre os planos. Precisaremos (1) verificar que os planos são paralelos, (2) calcular a distância entre eles e (3) obter o raio e, por fim, o volume da esfera.
Passo 2
Primeiro observe que o vetor normal de é , o mesmo de , logo os planos são paralelos. Basta dividir a equação de por 2 para comparar constantes:
A distância entre e
é dada por
Passo 3
Como a esfera é tangente a ambos, seu diâmetro vale d. Portanto o raio é
r=d2=1/62=112
Passo 4
O volume de uma esfera de raio r é
V=43,pi,r^3
Substituindo r=tfrac112, temos
V =43,pil(tfrac112r)^3 =43,pi;11728 =4pi5184 =pi1296