Encontre a equação geral do plano que contém a reta interseção dos planos alpha: 3 x-y+2 z+9=0 e beta: x+z-3=0 e que:
é perpendicular ao plano y z.

Passo 1

O enunciado dá dois planos
alpha:3x - y + 2z + 9 = 0 e beta:x + z - 3 = 0,
e pede o plano que contém a reta de interseção desses dois e é perpendicular ao plano yz (que tem equação x=0).

Passo 2

O conjunto de todos os planos que contêm a interseção de alpha e beta é dado pela família
alpha + lambda,beta:;(3x - y + 2z + 9) + lambda,(x + z - 3)=0
Distributindo, obtemos a equação geral
(3+lambda),x ;-;y;+;(2+lambda),z;+;(9 - 3lambda)=0
cujo vetor normal é n=(3+lambda,,-1,,2+lambda).

Passo 3

Para que esse plano seja perpendicular ao plano yz (equação x=0), seus vetores normais devem ser ortogonais. O normal do plano yz é (1,0,0). Logo, impomos
(3+lambda, -1, 2+lambda)cdot(1,0,0)=0 Longrightarrow 3+lambda=0 Longrightarrow lambda=-3

Passo 4

Substituindo lambda=-3 na equação da família, temos
(3-3)x ;-;y;+;(2-3)z;+;(9 - 3(-3))=0 ;Longrightarrow; 0cdot x - y - z + 18=0,
ou seja
-y - z + 18=0 Longrightarrow y + z - 18=0

Resposta

A equação geral do plano procurado é
y + z - 18 = 0

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