Determine o ponto do eixo dos O z que é equidistante de M(1,-2,0) e alpha: 3 x-2 y+6 z-9=0.

Passo 1

O enunciado quer o ponto P do eixo O z (isto é, P=(0,0,z) para algum z) que fica à mesma distância de M(1,-2,0) e da reta alphacolon 3x-2y+6z-9=0. O que vamos usar:
– A fórmula da distância entre dois pontos no espaço.
– A fórmula da distância de um ponto a um plano.

Passo 2

Se P está no eixo O z, então
P = (0,0,z)

Passo 3

A distância de P a M(1,-2,0) vem da raiz da soma dos quadrados das diferenças de coordenadas. Logo
d(P,M)=raiz(0-1)^2+(0-(-2))^2+(z-0)^2 =raiz1+4+z^2 =raizz^2+5

Passo 4

A distância de P ao plano alpha é dada por
d(P,alpha) =l|3cdot0-2cdot0+6z-9r|raiz3^2+(-2)^2+6^2 =|6z-9|raiz9+4+36 =|6z-9|7

Passo 5

Queremos d(P,M)=d(P,alpha), ou seja
raizz^2+5 =|6z-9|7
Elevando ao quadrado para eliminar a raiz e o valor absoluto:
z^2+5 =(6z-9)^249 Longrightarrow 49(z^2+5)=(6z-9)^2
Desenvolvendo,
49z^2+245 =36z^2-108z+81 Longrightarrow 13z^2+108z+164=0

Passo 6

Resolvendo a equação quadrática
z=-108pmraiz108^2-4cdot13cdot1642cdot13 =-108pmraiz11664-852826 =-108pm5626
Isso dá duas soluções:
z1=-108+5626=-2, z2=-108-5626=-16426=-8213

Resposta

Os pontos do eixo O z que satisfazem a condição são
(0,0,-2) e l(0,0,-8213r)

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