Encontre a equação geral do plano que contém a reta interseção dos planos alpha: 3 x-y+2 z+9=0 e beta: x+z-3=0 e que:
é perpendicular ao plano alpha: x+y-2 z-6=0.

Passo 1

O enunciado pede o plano que contém a reta de interseção dos planos
alpha:3x - y + 2z + 9 = 0
e
beta:x + z - 3 = 0
e que, ainda, seja perpendicular ao plano
gamma:x + y - 2z - 6 = 0.
Vamos usar o fato de que qualquer plano que contenha a reta alphacapbeta pode ser escrito como combinação linear dessas equações, e depois impor a condição de perpendicularidade via produto escalar dos vetores normais.

Passo 2

Qualquer plano que contenha alphacapbeta tem equação
(3x - y + 2z + 9) + lambda,(x + z - 3) = 0,
onde lambda é parâmetro real. O vetor normal desse plano é
n(lambda) = (3 + lambda,,-1,;2 + lambda)

Passo 3

O plano buscado deve ser perpendicular a gamma, cujo vetor normal é
ngamma = (1,,1,,-2)
Perpendicularidade entre planos significa n(lambda)cdotngamma=0.

Passo 4

Calculamos o produto escalar:
n(lambda)cdotngamma =(3+lambda)cdot1 + (-1)cdot1 + (2+lambda)cdot(-2) =3+lambda -1 -4 -2lambda =-2 - lambda
Impondo -2 - lambda = 0 obtemos
lambda = -2

Passo 5

Substituindo lambda=-2 na família de planos:
(3x - y + 2z + 9) -2,(x + z - 3) = 0
3x - y + 2z + 9 -2x -2z +6 = 0
x - y +15 = 0

Resposta

x - y + 15 = 0

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