Dadas as retas r: x=1+t, \quad y=-2-2 t, \quad z=1+3 t e s: \frac{x}{-2}=\frac{y-1}{4}=\frac{z-2}{-6}, os planos \alpha: x+2 y-3 z+6=0 e \beta: x-2 y+z=0, e os pontos P_{1}=(0,1,2) e P_{2}=(-3,0,1), Escreva a equação cartesiana do plano \gamma,que contém as retas r e s.

Passo 1

O enunciado pede a equação cartesiana do plano \gamma que contém as retas
r: \begin{cases} x=1+t,\\\ y=-2-2t,\\\ z=1+3t \end{cases} \quad\text{e}\quad s:\frac{x}{-2}=\frac{y-1}{4}=\frac{z-2}{-6}.
O conteúdo é geometria analítica no espaço: um plano pode ser determinado por dois vetores não colineares que nele morem.

Passo 2

Extraímos os vetores diretores de r e de s.
De r vem
v_r = (1,-2,3),
e da forma simétrica de s, escrevendo \frac{x}{-2}=\mu, obtemos
x=-2\mu,\quad y=1+4\mu,\quad z=2-6\mu
logo
v_s = (-2,4,-6) = -2\,(1,-2,3) = -2\,v_r.
Como v_s é múltiplo de v_r, as retas são paralelas e definem um único plano.

Passo 3

Escolhemos um ponto em cada reta: para r tomamos t=0, dando
A = (1,-2,1),
e para s tomamos \mu=0, dando
B = (0,1,2).
O vetor que liga A a B é
\overrightarrow{AB} = B - A = (-1,3,1).

Passo 4

O vetor normal ao plano é dado pelo produto vetorial
n = v_r \times \overrightarrow{AB} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 1 & -2 & 3 \\\\ -1 & 3 & 1 \end{vmatrix} = (-11,-4,1).

Passo 5

Para simplificar, usamos o normal equivalente n=(11,4,-1). A equação do plano com esse normal e que passa por A=(1,-2,1) é
11\,(x-1) \;+\;4\,(y+2)\;-\;(z-1)\;=\;0.
Expandindo, obtemos
11x + 4y - z - 2 = 0.

Resposta

A equação cartesiana do plano \gamma é
11x + 4y - z - 2 = 0.

Exercícios relacionados