Dadas as retas r: x=1+t, \quad y=-2-2 t, \quad z=1+3 t e s: \frac{x}{-2}=\frac{y-1}{4}=\frac{z-2}{-6}, os planos \alpha: x+2 y-3 z+6=0 e \beta: x-2 y+z=0, e os pontos P_{1}=(0,1,2) e P_{2}=(-3,0,1), Verifique se P_{1} pertence à reta r, e se P_{2} pertence ao plano \alpha.

Passo 1

O enunciado dá uma reta r em forma paramétrica, um plano \alpha em forma implícita e dois pontos P_{1} e P_{2}. O que precisamos fazer é:
  1. Verificar se existe algum parâmetro t tal que as coordenadas de P_{1} satisfaçam as equações de r.
  2. Substituir as coordenadas de P_{2} na equação de \alpha e ver se ela se anula.

Passo 2

Para checar se P_{1}=(0,1,2) pertence a r, igualamos cada coordenada à forma paramétrica:
1+t = 0,\quad -2-2t = 1,\quad 1+3t = 2.
Da primeira equação vem t=-1. Substituindo em -2-2t obtemos -2-2(-1)=0, mas o ponto tem y=1. Há contradição, logo não existe t que satisfaça todas as três coordenadas simultaneamente. Portanto, P_{1} não pertence a r.

Passo 3

Para ver se P_{2}=(-3,0,1) está em \alpha, basta substituir em x+2y-3z+6=0:
(-3) + 2\cdot 0 - 3\cdot 1 + 6 = -3 + 0 -3 +6 = 0.
A igualdade vale, então P_{2} satisfaz a equação do plano \alpha e, portanto, pertence a ele.

Resposta

P_{1} não pertence à reta r.
P_{2} pertence ao plano \alpha.

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