Dadas as retas r: x=1+t, \quad y=-2-2 t, \quad z=1+3 t e s: \frac{x}{-2}=\frac{y-1}{4}=\frac{z-2}{-6}, os planos \alpha: x+2 y-3 z+6=0 e \beta: x-2 y+z=0, e os pontos P_{1}=(0,1,2) e P_{2}=(-3,0,1), Determine a equação cartesiana do plano \pi, que passa pelo ponto P_{1} e é perpendicular à reta r.
Passo 1
O enunciado nos dá a reta
r: \begin{cases} x = 1 + t,\\\ y = -2 - 2t,\\\ z = 1 + 3t, \end{cases}
e o ponto P_{1}=(0,1,2). Precisamos encontrar a equação cartesiana do plano \pi que passa por P_{1} e é perpendicular a r. O conteúdo aqui é usar a forma normal do plano: se um plano é perpendicular a uma reta, seu vetor normal \vec{n} é paralelo ao vetor diretor da reta.
Passo 2
Identificamos o vetor diretor de r a partir dos coeficientes de t. Assim,
\vec{v}_{r} = (1,\,-2,\,3).
Passo 3
Como \pi é perpendicular a r, seu vetor normal \vec{n} pode ser escolhido igual a \vec{v}_{r}. Logo,
\vec{n} = (1,\,-2,\,3).
Passo 4
A equação de um plano com normal \vec{n}=(a,b,c) que passa por P_{1}=(x_{0},y_{0},z_{0}) é
a(x - x_{0}) + b(y - y_{0}) + c(z - z_{0}) = 0.
Substituindo a=1, b=-2, c=3 e P_{1}=(0,1,2), fica
1\,(x-0) \;+\; (-2)\,(y-1) \;+\; 3\,(z-2) = 0.
Passo 5
Agora expandimos e simplificamos:
x \;-\;2y +2 \;+\;3z -6 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x - 2y + 3z - 4 = 0.