Seja A=\left[\begin{array}{rrrr}1 & 2 & -3 & 1 \\\\ 0 & 2 & 4 & 5 \\\\ 0 & 0 & -3 & 4 \\\\ 0 & 0 & 0 & 4\end{array}\right] e \lambda um escalar. Encontre todoas as soluções de A x=\lambda x.
Para \lambda=2.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -3 & 1\\\\ 0 & 2 & 4 & 5\\\\ 0 & 0 & -3 & 4\\\\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}
e pede as soluções de A x = \lambda x para \lambda = 2. Isto equivale a resolver o sistema (A - 2I)x = 0, isto é, encontrar os autovetores associados ao autovalor 2.

Passo 2

Calcular A - 2I:
A - 2I = \begin{pmatrix} 1-2 & 2 & -3 & 1\\\\ 0 & 2-2 & 4 & 5\\\\ 0 & 0 & -3-2& 4\\\\ 0 & 0 & 0 & 4-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 2 & -3 & 1\\\\ 0 & 0 & 4 & 5\\\\ 0 & 0 & -5 & 4\\\\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}.

Passo 3

Escrever o sistema (A-2I)x=0 com x=(x_1,x_2,x_3,x_4):
\begin{cases} -x_1 + 2x_2 -3x_3 + x_4 = 0,\\\\ 4x_3 + 5x_4 = 0,\\\\ -5x_3 + 4x_4 = 0,\\\\ 2x_4 = 0. \end{cases}

Passo 4

Resolver por substituição de baixo para cima:
Da última equação vem x_4=0.
Substituindo em -5x_3 + 4x_4=0 obtém-se x_3=0.
As outras duas equações intermediárias ficam satisfeitas automaticamente.
Na primeira equação, com x_3=0 e x_4=0, temos
-x_1 + 2x_2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x_1 = 2x_2.

Passo 5

Fica x_2 livre; seja x_2 = t. Então
x = \begin{pmatrix}x_1\x_2\x_3\x_4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2t\t\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix} = t\begin{pmatrix}2\\\ 1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}, \quad t\in\mathbb{R}.

Resposta

As soluções de A x = 2x são todos os múltiplos de \bigl(2,1,0,0\bigr), isto é,
x = t\begin{pmatrix}2\\\ 1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix},\quad t\in\mathbb{R}.

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