Utilizando o Algoritmo da Divisão:
(a) Dê uma definição de um número inteiro par e de um número inteiro ímpar.
(b) Mostre que a soma de dois inteiros pares é um inteiro pa.r
(c) Mostre que a soma de dois inteiros ímpares é um inteiro par.
(d) Mostre que a soma entre um inteiro par e um inteiro ímpar é um inteiro ímpar.
(e) O que podemos mostrar em relação ao produto de dois inteiros?

Passo 1

O enunciado pede para usar o Algoritmo da Divisão com divisor 2. A ideia é que todo inteiro n pode ser escrito como
n = 2q \quad\text{ou}\quad n = 2q+1,
com q\in\mathbb{Z}. Vamos usar isso para definir par e ímpar e depois provar as propriedades de soma e produto.

Passo 2

Definições (item a):
Um inteiro n é par se existe q\in\mathbb{Z} tal que
n = 2q.
Um inteiro n é ímpar se existe q\in\mathbb{Z} tal que
n = 2q + 1.

Passo 3

Prova de (b): soma de dois inteiros pares
Seja a=2k e b=2m com k,m\in\mathbb{Z}. Então
a + b = 2k + 2m = 2\,(k+m).
Como k+m\in\mathbb{Z}$, segue que \(a+b é da forma 2\,(\text{inteiro}), ou seja, é par.)

Passo 4

Prova de (c): soma de dois inteiros ímpares
Seja a = 2k+1 e b = 2m+1. Então
a + b = (2k+1) + (2m+1) = 2\,(k + m + 1).
Como k+m+1\in\mathbb{Z}, concluímos que a+b é par.

Passo 5

Prova de (d): soma entre um par e um ímpar
Seja a=2k e b=2m+1. Então
a + b = 2k + (2m+1) = 2\,(k+m) + 1.
Aqui k+m\in\mathbb{Z}, logo a+b é da forma 2\,(\text{inteiro})+1, ou seja, ímpar.

Passo 6

Propriedade sobre o produto (item e):
  • Se pelo menos um dos fatores for par, o produto é par. Ex.:
2k \cdot x = 2\,(k\,x).
  • Se ambos os fatores forem ímpares, o produto é ímpar. Ex.:
(2k+1)(2m+1) = 4km + 2k + 2m + 1 = 2\,(2km + k + m) + 1.

Resposta

(a) Um inteiro n é par se existe q\in\mathbb{Z} tal que n=2q, e é ímpar se existe q\in\mathbb{Z} tal que n=2q+1.
(b) A soma de dois pares é par, pois (2k)+(2m)=2(k+m).
(c) A soma de dois ímpares é par, pois (2k+1)+(2m+1)=2(k+m+1).
(d) A soma de um par com um ímpar é ímpar, pois 2k+(2m+1)=2(k+m)+1.
(e) O produto de dois inteiros é par se pelo menos um for par, e ímpar somente se ambos forem ímpares.

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