Utilizando o Algoritmo da Divisão:
(a) Dê uma definição de um número inteiro par e de um número inteiro ímpar.
(b) Mostre que a soma de dois inteiros pares é um inteiro pa.r
(c) Mostre que a soma de dois inteiros ímpares é um inteiro par.
(d) Mostre que a soma entre um inteiro par e um inteiro ímpar é um inteiro ímpar.
(e) O que podemos mostrar em relação ao produto de dois inteiros?
(a) Dê uma definição de um número inteiro par e de um número inteiro ímpar.
(b) Mostre que a soma de dois inteiros pares é um inteiro pa.r
(c) Mostre que a soma de dois inteiros ímpares é um inteiro par.
(d) Mostre que a soma entre um inteiro par e um inteiro ímpar é um inteiro ímpar.
(e) O que podemos mostrar em relação ao produto de dois inteiros?
Passo 1
O enunciado pede para usar o Algoritmo da Divisão com divisor
. A ideia é que todo inteiro
pode ser escrito como
com
. Vamos usar isso para definir par e ímpar e depois provar as propriedades de soma e produto.
Passo 2
Definições (item a):
Um inteiro é par se existe
tal que
Um inteiro
Um inteiro
é ímpar se existe
tal que
Passo 3
Prova de (b): soma de dois inteiros pares
Seja e
com
. Então
Seja
Como
é da forma
, ou seja, é par.)
Passo 4
Prova de (c): soma de dois inteiros ímpares
Seja e
. Então
Seja
Como
, concluímos que
é par.
Passo 5
Prova de (d): soma entre um par e um ímpar
Seja e
. Então
Seja
Aqui
, logo
é da forma
, ou seja, ímpar.
Passo 6
Propriedade sobre o produto (item e):
- Se pelo menos um dos fatores for par, o produto é par. Ex.:
- Se ambos os fatores forem ímpares, o produto é ímpar. Ex.:
Resposta
(a) Um inteiro
é par se existe
tal que
, e é ímpar se existe
tal que
.
(b) A soma de dois pares é par, pois .
(c) A soma de dois ímpares é par, pois .
(d) A soma de um par com um ímpar é ímpar, pois .
(e) O produto de dois inteiros é par se pelo menos um for par, e ímpar somente se ambos forem ímpares.
(b) A soma de dois pares é par, pois
(c) A soma de dois ímpares é par, pois
(d) A soma de um par com um ímpar é ímpar, pois
(e) O produto de dois inteiros é par se pelo menos um for par, e ímpar somente se ambos forem ímpares.