Dadas as retas r: x=1+t, \quad y=-2-2 t, \quad z=1+3 t e s: \frac{x}{-2}=\frac{y-1}{4}=\frac{z-2}{-6}, os planos \alpha: x+2 y-3 z+6=0 e \beta: x-2 y+z=0, e os pontos P_{1}=(0,1,2) e P_{2}=(-3,0,1), Encontre as equações paramétricas da reta que é a interseção dos planos \alpha e \beta.

Passo 1

O problema pede a reta de interseção dos planos
\alpha: x + 2y - 3z + 6 = 0
e
\beta: x - 2y + z = 0.
Iremos usar geometria analítica: o vetor direção da reta é o produto vetorial dos normais de \alpha e \beta, e para obter um ponto da reta basta resolver o sistema formado pelas duas equações dos planos.

Passo 2

Determine os vetores normais de cada plano:
\mathbf{n}_\alpha = (1,\,2,\,-3), \qquad \mathbf{n}_\beta = (1,\,-2,\,1).
O vetor direção \mathbf{d} da reta é dado por
\mathbf{d} = \mathbf{n}_\alpha \times \mathbf{n}_\beta = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\[6pt] 1 & 2 & -3 \\[3pt] 1 & -2 & 1 \end{vmatrix} = (-4,\,-4,\,-4).
Podemos escolher como direção o vetor simplificado
\mathbf{d} = (1,\,1,\,1).]

Passo 3

Encontre um ponto P_0=(x_0,y_0,z_0)\) comum a \(\alpha\) e \(\beta\). Por exemplo, fazendo \(z=0\) no sistema \[\begin{cases} x + 2y - 3\cdot0 + 6 = 0,\\\ x - 2y + 0 = 0, \end{cases}
temos da segunda x=2y\]. Substituindo na primeira: \[2y + 2y +6 = 0 \quad\Longrightarrow\quad 4y = -6 \quad\Longrightarrow\quad y = -\tfrac{3}{2},\] logo \(x = 2(-\tfrac{3}{2}) = -3. Portanto, um ponto da reta é
P_0 = \bigl(-3,\,-\tfrac{3}{2},\,0\bigr).

Passo 4

A reta de interseção, passando por P_0 e com direção \mathbf{d}, tem equações paramétricas
x = -3 + t, \quad y = -\tfrac{3}{2} + t, \quad z = 0 + t,
onde t\in\mathbb{R}.

Resposta

\boxed{ x = -3 + t,\quad y = -\tfrac{3}{2} + t,\quad z = t,\quad t\in\mathbb{R}. }

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