Dadas as retas r: x=1+t, \quad y=-2-2 t, \quad z=1+3 t e s: \frac{x}{-2}=\frac{y-1}{4}=\frac{z-2}{-6}, os planos \alpha: x+2 y-3 z+6=0 e \beta: x-2 y+z=0, e os pontos P_{1}=(0,1,2) e P_{2}=(-3,0,1), Determine a posição relativa e a distância entre as retas r e s.

Passo 1

O enunciado dá duas retas no espaço: r em forma paramétrica e s em forma simétrica, além de planos e pontos que não são usados diretamente aqui.
O que precisamos é:
  1. Identificar os vetores diretores de r e de s.
  2. Verificar se esses vetores são colineares (para ver se as retas são paralelas ou coincidentes).
  3. Se não se cruzam e são paralelas, calcular a distância entre elas usando produto vetorial.

Passo 2

Escrevendo cada reta em forma vetorial:
Para r, definindo t como parâmetro, temos
r: \mathbf{r}(t) = (1,\,-2,\,1) + t\,(1,\,-2,\,3).
Logo o vetor diretor de r é
\mathbf{v}_r = (1,\,-2,\,3).
Para s, tomamos o parâmetro comum \lambda em
\frac{x}{-2}=\frac{y-1}{4}=\frac{z-2}{-6}=\lambda,
o que dá
s: \mathbf{r}(\lambda) = (0,\,1,\,2) + \lambda\,(-2,\,4,\,-6).
Logo o vetor diretor de s é
\mathbf{v}_s = (-2,\,4,\,-6).

Passo 3

Comparando \mathbf{v}_s e \mathbf{v}_r, vemos que
(-2,4,-6) = -2\,(1,-2,3),
ou seja, \mathbf{v}_s é múltiplo de \mathbf{v}_r. Logo as retas são paralelas ou coincidentes.
Para testar se coincidem, igualamos \mathbf{r}(t) a \mathbf{r}(\lambda) e vemos que não há solução (surge contradição em um dos sistemas). Portanto são paralelas distintas.

Passo 4

A distância entre retas paralelas é a distância entre um ponto de uma reta e a outra reta.
Escolhendo A=(1,-2,1) em r e B=(0,1,2) em s, calculamos
\overrightarrow{AB} = B - A = (-1,\,3,\,1).
Então
\overrightarrow{AB}\times\mathbf{v}_r = (-1,\,3,\,1)\times(1,\,-2,\,3) = (11,\,4,\,-1).
O módulo deste vetor é
\big\lVert(11,4,-1)\big\rVert = \sqrt{11^2+4^2+(-1)^2} = \sqrt{138},
e o módulo de \mathbf{v}_r é
\lVert\mathbf{v}_r\rVert = \sqrt{1^2+(-2)^2+3^2} = \sqrt{14}.
Portanto a distância é
d = \frac{\sqrt{138}}{\sqrt{14}} = \sqrt{\frac{138}{14}} = \sqrt{\frac{69}{7}}.

Resposta

As retas r e s são paralelas distintas e a distância entre elas é \displaystyle \sqrt{\frac{69}{7}}.

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