Dadas as retas r: x=1+t, \quad y=-2-2 t, \quad z=1+3 t e s: \frac{x}{-2}=\frac{y-1}{4}=\frac{z-2}{-6}, os planos \alpha: x+2 y-3 z+6=0 e \beta: x-2 y+z=0, e os pontos P_{1}=(0,1,2) e P_{2}=(-3,0,1), Determine a posição relativa e a distância entre as retas r e s.
Passo 1
O enunciado dá duas retas no espaço: r em forma paramétrica e s em forma simétrica, além de planos e pontos que não são usados diretamente aqui.
O que precisamos é:
Identificar os vetores diretores de r e de s.
Verificar se esses vetores são colineares (para ver se as retas são paralelas ou coincidentes).
Se não se cruzam e são paralelas, calcular a distância entre elas usando produto vetorial.
Passo 2
Escrevendo cada reta em forma vetorial:
Para r, definindo t como parâmetro, temos
ou seja, \mathbf{v}_s é múltiplo de \mathbf{v}_r. Logo as retas são paralelas ou coincidentes.
Para testar se coincidem, igualamos \mathbf{r}(t) a \mathbf{r}(\lambda) e vemos que não há solução (surge contradição em um dos sistemas). Portanto são paralelas distintas.
Passo 4
A distância entre retas paralelas é a distância entre um ponto de uma reta e a outra reta.
Escolhendo A=(1,-2,1) em r e B=(0,1,2) em s, calculamos