Dadas as retas:
r: y-32=z+1-2 x=2 s:l y=2 x z=x-3 h:l x=3+t y=1-3 t z=t
Determinar: O ângulo entre r e s

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o ângulo entre as retas e . Para isso, vamos usar um pouco de geometria analítica envolvendo vetores direcionais das retas. Vamos precisar entender como identificar esses vetores e aplicar a fórmula do ângulo entre dois vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores direcionais das retas r: y-32=z+1-2, x=2 e 0 2 -2 . A reta está dada na forma simétrica:
Aqui, podemos ver que o vetor direcional de é , já que as mudanças em e são 2 e -2, respectivamente, e é constante (0).

Passo 3

Agora, vamos identificar o vetor direcional da reta s: y = 2x z = x - 3 . A reta s: x = t y = 2t z = t - 3 está na forma paramétrica:
1 2 1
Podemos reescrever isso em termos de um parâmetro :
Então, o vetor direcional de é .

Passo 4

Com os vetores direcionais em mãos, vamos usar a fórmula para encontrar o ângulo cos theta = ur cdot us|ur| |us| entre eles:
Onde:
  • é o produto escalar dos vetores.
  • e são as normas (comprimentos) dos vetores.

Passo 5

Vamos calcular o produto escalar ur cdot us = (0)(1) + (2)(2) + (-2)(1) = 0 + 4 - 2 = 2 :

Passo 6

Agora, vamos calcular as normas dos vetores:
|ur| = raiz0^2 + 2^2 + (-2)^2 = raiz0 + 4 + 4 = raiz8 = 2raiz2
|us| = raiz1^2 + 2^2 + 1^2 = raiz1 + 4 + 1 = raiz6

Passo 7

Substituindo esses valores na fórmula do cosseno do ângulo:
cos theta = 22raiz2 times raiz6 = 22raiz12 = 1raiz12 = raiz1212 = 2raiz312 = raiz36

Passo 8

Para encontrar o ângulo theta = arccos(raiz36) , vamos usar a função arco cosseno:
theta approx 73,2^circ
Calculando isso, obtemos aproximadamente:

Resposta

O ângulo entre as retas e é aproximadamente .

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