Uma técnica para criptografar mensagens utiliza a multiplicação de matrizes. Um codificador transforma sua mensagem numa matriz
, com duas linhas, substituindo cada letra pelo número correspondente à sua ordem no alfabeto, conforme modelo apresentado a seguir.
Letra
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
Número
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Letra
L
M
N
O
P
Q
R
S
T
U
Número
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
Letra
V
W
X
Y
Z
-
Número
22
23
24
25
26
27
Por exemplo, a palavra SENHAS ficaria assim:
Para codificar, uma matriz
, A, é multiplicada pela matriz
, resultando na matriz
, que é a mensagem codificada a ser enviada.
Ao receber a mensagem, o decodificador precisa reobter
para descobrir a mensagem original. Para isso, utiliza uma matriz
, tal que
, onde
é a matriz identidade (
). Assim, multiplicando
por
, obtémse
.
Uma palavra codificada, segundo esse processo, por uma matriz
resultou na matriz
Calcule a matriz
, decodifique a mensagem e identifique a palavra original.
Letra | A | B | C | D | E | F | G | H | I | J | K |
Número | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
Letra | L | M | N | O | P | Q | R | S | T | U |
Número | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 |
Letra | V | W | X | Y | Z | - |
Número | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 |
Ao receber a mensagem, o decodificador precisa reobter
Uma palavra codificada, segundo esse processo, por uma matriz
Passo 1
Vamos resolver um exercício que envolve criptografia usando matrizes. O enunciado fala sobre como transformar uma mensagem em números utilizando uma matriz, codificá-la multiplicando por outra matriz, e depois decodificá-la usando a matriz inversa. Para resolver, vamos precisar entender multiplicação de matrizes e como encontrar a matriz inversa de uma matriz 2x2.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a matriz
, que é a inversa da matriz
. A matriz
é dada por:
Para encontrar a inversa de uma matriz 2x2, usamos a fórmula:
onde
e
.
Passo 3
Vamos calcular o determinante de
:
Como o determinante é diferente de zero, a matriz
tem inversa.
Passo 4
Aplicando a fórmula da inversa:
Portanto, a matriz
é:
Passo 5
Agora, vamos decodificar a matriz
multiplicando
por
. A matriz
é:
A multiplicação de matriz
(2x2) por
(2x3) resulta na matriz
(2x3):
Vamos calcular cada elemento de
:
- Primeiro elemento (linha 1, coluna 1):
- Segundo elemento (linha 1, coluna 2):
- Terceiro elemento (linha 1, coluna 3):
- Primeiro elemento (linha 2, coluna 1):
- Segundo elemento (linha 2, coluna 2):
- Terceiro elemento (linha 2, coluna 3):
Então, a matriz
é:
Passo 6
Agora, vamos traduzir os números da matriz
de volta para as letras, usando a tabela fornecida:
Aplicando:
- 19 → S
- 9 → I
- 7 → G
- 9 → I
- 12 → L
- 15 → O
Portanto, a palavra original é SIGILO.
Resposta
A matriz
é:
A palavra original decodificada é SIGILO.