Uma técnica para criptografar mensagens utiliza a multiplicação de matrizes. Um codificador transforma sua mensagem numa matriz M, com duas linhas, substituindo cada letra pelo número correspondente à sua ordem no alfabeto, conforme modelo apresentado a seguir.
Letra A B C D E F G H I J K
Número 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Letra L M N O P Q R S T U
Número 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
Letra V W X Y Z -
Número 22 23 24 25 26 27
Por exemplo, a palavra SENHAS ficaria assim:
|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c| hline Letra & A & B & C & D & E & F & G & H & I & J & K hline Número & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 hline
Para codificar, uma matriz |c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c| hline Letra & L & M & N & O & P & Q & R & S & T & U hline Número & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 & 17 & 18 & 19 & 20 & 21 hline , A, é multiplicada pela matriz |c|c|c|c|c|c|c| hline Letra & V & W & X & Y & Z & - hline Número & 22 & 23 & 24 & 25 & 26 & 27 hline , resultando na matriz M=[lll S & E & N H & A & S ]=[ccc 19 & 5 & 14 8 & 1 & 19 ] , que é a mensagem codificada a ser enviada.
Ao receber a mensagem, o decodificador precisa reobter 2 times 2 para descobrir a mensagem original. Para isso, utiliza uma matriz M, tal que E=A times M, onde M é a matriz identidade ( 2 times 2, B ). Assim, multiplicando B times A=I por I, obtémse 2 times 2.
Uma palavra codificada, segundo esse processo, por uma matriz B resultou na matriz
E
Calcule a matriz B times E=B times A times M=M, decodifique a mensagem e identifique a palavra original.

Passo 1

Vamos resolver um exercício que envolve criptografia usando matrizes. O enunciado fala sobre como transformar uma mensagem em números utilizando uma matriz, codificá-la multiplicando por outra matriz, e depois decodificá-la usando a matriz inversa. Para resolver, vamos precisar entender multiplicação de matrizes e como encontrar a matriz inversa de uma matriz 2x2.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a matriz A = 2 & 1 1 & 1 , que é a inversa da matriz A^-1 = 1det(A) d & -b -c & a . A matriz a & b c & d é dada por:
Para encontrar a inversa de uma matriz 2x2, usamos a fórmula:
onde e .

Passo 3

Vamos calcular o determinante de det(A) = (2)(1) - (1)(1) = 2 - 1 = 1 :
Como o determinante é diferente de zero, a matriz tem inversa.

Passo 4

Aplicando a fórmula da inversa:
A^-1 = 11 1 & -1 -1 & 2 = 1 & -1 -1 & 2
Portanto, a matriz B = 1 & -1 -1 & 2 é:

Passo 5

Agora, vamos decodificar a matriz E = 47 & 30 & 29 28 & 21 & 22 multiplicando M = B times E = 1 & -1 -1 & 2 times 47 & 30 & 29 28 & 21 & 22 por (1)(47) + (-1)(28) = 47 - 28 = 19 . A matriz (1)(30) + (-1)(21) = 30 - 21 = 9 é:
(1)(29) + (-1)(22) = 29 - 22 = 7
A multiplicação de matriz (-1)(47) + (2)(28) = -47 + 56 = 9 (2x2) por (-1)(30) + (2)(21) = -30 + 42 = 12 (2x3) resulta na matriz (-1)(29) + (2)(22) = -29 + 44 = 15 (2x3):
M = 19 & 9 & 7 9 & 12 & 15
Vamos calcular cada elemento de :
  • Primeiro elemento (linha 1, coluna 1):
  • Segundo elemento (linha 1, coluna 2):
  • Terceiro elemento (linha 1, coluna 3):
  • Primeiro elemento (linha 2, coluna 1):
  • Segundo elemento (linha 2, coluna 2):
  • Terceiro elemento (linha 2, coluna 3):
Então, a matriz é:

Passo 6

Agora, vamos traduzir os números da matriz |c|c| hline Número & Letra hline 1 & A 2 & B vdots & vdots 19 & S 9 & I 7 & G 12 & L 15 & O 22 & V hline de volta para as letras, usando a tabela fornecida:
ú
Aplicando:
  • 19 → S
  • 9 → I
  • 7 → G
  • 9 → I
  • 12 → L
  • 15 → O
Portanto, a palavra original é SIGILO.

Resposta

A matriz B = 1 & -1 -1 & 2 é:
A palavra original decodificada é SIGILO.

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