Seja V o primeiro quadrante do plano x y, ou seja,
V=[l x y ]: x >= 0, y >= 0
a) Se u e v estiverem em V, será que u+v estará em V ? Por quê?

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está nos pedindo. Temos um conjunto V, que representa o primeiro quadrante do plano xy. Isso significa que todos os vetores nesse conjunto têm coordenadas x e y maiores ou iguais a zero. O conteúdo que vamos usar aqui é a adição de vetores e as propriedades do primeiro quadrante. Precisamos verificar se a soma de dois vetores que estão em V também pertence a V.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um vetor estar no conjunto V. Um vetor u está em V se suas componentes x e y forem maiores ou iguais a zero, ou seja:
u = ux uy , ux >= 0, uy >= 0
O mesmo vale para o vetor v:
v = vx vy , vx >= 0, vy >= 0

Passo 3

Agora, vamos lembrar como é feita a adição de vetores. A soma de dois vetores u e v é feita adicionando-se suas respectivas componentes:
u + v = ux + vx uy + vy
Então, para que u + v esteja em V, precisamos que ambas as novas componentes sejam maiores ou iguais a zero.

Passo 4

Como u e v estão em V, sabemos que ux >= 0, uy >= 0, vx >= 0 e vy >= 0. Portanto:
ux + vx >= 0 + 0 = 0
uy + vy >= 0 + 0 = 0
Isso mostra que as componentes do vetor soma u + v também são maiores ou iguais a zero.

Resposta

Sim, a soma u + v está em V, porque a soma das componentes de dois vetores com coordenadas não negativas também resulta em coordenadas não negativas.

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