Dadas as retas abaixo, escreva-as em forma vetorial e verifique se são paralelas distintas ou coincidentes;
r1:lx=t y=t z=t e r2:lx=1-t y=2-t z=3-t

Passo 1

Beleza! A questão dá duas retas em forma paramétrica e pede: (1) escrever cada uma em forma vetorial e (2) ver se elas são paralelas distintas ou coincidentes.
Conteúdo: geometria analítica em 3D – representação vetorial de reta, vetor diretor, teste de paralelismo (quando os vetores diretores são colineares) e teste de coincidência (se um ponto de uma reta satisfaz a outra).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar: a forma vetorial de uma reta é
vec r(t)=vec r0 + t,vec v,
onde vec r0 é um ponto inicial e vec v é o vetor diretor.
Para r1:;x=t,;y=t,;z=t, quando t=0 o ponto é (0,0,0), e conforme t varia o incremento é sempre (1,1,1). Então
vec r1(t) = lang<= 0,0,0rang<= + t,lang<= 1,1,1rang<=
Para r2:;x=1-t,;y=2-t,;z=3-t, trocamos o parâmetro para lambda e reescrevemos:
x=1-lambda,;y=2-lambda,;z=3-lambda
Quando lambda=0 temos o ponto (1,2,3) e, ao variar lambda, o incremento é (-1,-1,-1). Logo
vec r2(lambda) = lang<= 1,2,3rang<= + lambda,lang<= -1,-1,-1rang<=

Passo 3

Agora, vetores diretores:
vec v1=lang<=1,1,1rang<= e vec v2=lang<=-1,-1,-1rang<=.
Na teoria, duas retas são paralelas se os vetores diretores forem colineares, ou seja, se existir escalar k tal que vec v2 = k,vec v1.
Aqui, lang<=-1,-1,-1rang<= = (-1),lang<=1,1,1rang<=. Então são paralelas.

Passo 4

Para saber se são coincidentes (a mesma reta) ou apenas paralelas distintas, basta ver se algum ponto de r1 está em r2.
Pegamos, por exemplo, o ponto (0,0,0) de r1 e tentamos achar lambda em
(0,0,0)=(1,2,3)+lambda(-1,-1,-1)
Isso dá o sistema
0=1-lambda,0=2-lambda,0=3-lambda,
que implicaria lambda=1, lambda=2 e lambda=3 ao mesmo tempo – impossível. Logo (0,0,0) não está em r2 e as retas não coincidem.

Resposta

vec r1(t)=lang<=0,0,0rang<= + t,lang<=1,1,1rang<=, vec r2(lambda)=lang<=1,2,3rang<= + lambda,lang<=-1,-1,-1rang<=
Elas são paralelas distintas.

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