Encontre a matriz de mudança de coordenadas da base canônica em R^n para a base B.
B=[r3 -1 4],[r2 0 -5],[r8 -2 7]

Passo 1

O enunciado pede a matriz de mudança de coordenadas da base canônica E para a base
B = b1,b2,b3
em R^3, onde
b1 = 3-14, b2 = 20-5, b3 = 8-27
Chamamos de P essa matriz de mudança de coordenadas tal que, para todo vetor v,
[v]B ;=; P,[v]E
O procedimento geral é montar a matriz M cujas colunas são os bi em coordenadas canônicas, e então
P ;=; M^-1

Passo 2

Formamos a matriz M cujas colunas são os vetores de B escritos na base canônica:
M = 3 & 2 & 8 -1 & 0 & -2 4 & -5 & 7

Passo 3

Calculamos o determinante de M. Por expansão na primeira linha:
det(M) = 3det!0&-2-5&7 -2det!-1&-24&7 +8det!-1&04&-5
Cada menor vale
det0&-2-5&7 = -10, det-1&-24&7 = 1, det-1&04&-5 = 5,
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det(M) = 3(-10) - 2(1) + 8cdot5 = -30 -2 +40 = 8

Passo 4

Para encontrar M^-1 usamos a fórmula
M^-1 = 1det(M)adj(M),
onde adj(M) é a transposta da matriz de cofatores de M. Calculando os cofatores obtemos
adj(M) = -10 & -54 & -4 -1 & -11 & -2 5 & 23 & 2

Passo 5

Portanto a matriz de mudança de coordenadas P = M^-1 é
P = 18 -10 & -54 & -4 -1 & -11 & -2 5 & 23 & 2

Resposta

P = -108 & -548 & -48 -18 & -118 & -28 58 & 238 & 28

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