Dadas as retas r e s.
(a) r:cx=-2-2 t y=2 t z=3-4 t e s: x4=y+62=z-12
(b) r: x-42=y-1=z+1-2 es : x & =1 y+14 & =z-23
(c) r:cy=-2 x-1 z=x+2 es: x=2 ; y3=z+1-3.
Determine:
Qual tipo de equação nas quais as retas estão representadas.

Passo 1

O enunciado apresenta três pares de retas r e s em R^3 escritas em formas diferentes e pede para identificarmos em que tipo de equação cada uma está representada. O conteúdo principal é representação de retas em 3D, que pode aparecer em:
  • forma paramétrica,
  • forma contínua (ou simétrica),
  • forma implícita (interseção de dois planos),
  • forma mista (combinação de equações de tipo diferente).

Passo 2

Antes de classificar cada reta, lembremos as características de cada forma:
– Forma paramétrica: cada coordenada é dada como função linear de um parâmetro (ex.: x=x0+v1t, y=y0+v2t, z=z0+v3t).
– Forma contínua ou simétrica: escrevemos x-x0v1=y-y0v2=z-z0v3.
– Forma implícita: a reta surge como interseção de dois planos, isto é, um sistema de duas equações lineares em x,y,z.
– Forma mista: usamos equação de tipo diferente para cada coordenada (por exemplo, fixamos x= constante e para y,z adotamos forma simétrica).

Passo 3

Item (a):
– A reta
r: x=-2-2t, y=2t, z=3-4t
é claramente forma paramétrica, pois cada coordenada é função de t.
– A reta
s:x4=y+62=z-12
é apresentada em forma contínua (ou simétrica), pois tem frações iguais.

Passo 4

Item (b):
– A reta
r:x-42=y-1=z+1-2
está em forma contínua (ou simétrica), pois equaciona as três frações.
– A outra
s: x=1, y+14=z-23
usa x fixo e uma forma contínua para y,z, ou seja, é forma mista.

Passo 5

Item (c):
– A reta
r: y=-2x-1, z=x+2
é dada como interseção de dois planos lineares, portanto está em forma implícita.
– A reta
s: x=2, y3=z+1-3
fixa x e relaciona y,z por frações iguais, logo é mais uma forma mista.

Resposta

(a) r em forma paramétrica; s em forma contínua (simétrica).
(b) r em forma contínua (simétrica); s em forma mista.
(c) r em forma implícita (interseção de planos); s em forma mista.

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