Os pontos A, B, C e D são vértices consecutivos de um paralelogramo. O ponto A é dado em coordenadas por A=(4,2,-2) e a diagonal AC define o vetor AC=(0,-6,4). A diagonal DB define o vetor DB=(1,4,-4).
Os pontos M e N dividem a diagonal AC em três segmentos de mesma medida, e M fica entre A e N.
Determine as coordenadas do vetor NB.
Resposta: NB=(1 / 2, square . square

Passo 1

O enunciado diz que A,B,C,D são vértices consecutivos de um paralelogramo, com
A=(4,2,-2), AC=(0,-6,4), DB=(1,4,-4),
e que M e N dividem AC em três partes iguais. Precisamos achar NB. Vamos usar a propriedade do paralelogramo
AC=AB+AD, DB=AB-AD,
para encontrar AB e então obter B. Depois achamos N e calculamos NB=B-N.

Passo 2

Primeiro determinamos C a partir de A e AC:
C ;=; A + AC ;=; (4,2,-2) + (0,-6,4) ;=; (4,-4,2)

Passo 3

Aplicamos o sistema
AB + AD = AC, AB - AD = DB
Somando:
2,AB = AC + DB = (0,-6,4)+(1,4,-4) = (1,-2,0),
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AB = l(tfrac12,-1,0r)
Subtraindo:
2,AD = AC - DB = (0,-6,4)-(1,4,-4) = (-1,-10,8),
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AD = l(-tfrac12,-5,4r)

Passo 4

Agora achamos B e D:
B = A + AB = (4,2,-2) + l(tfrac12,-1,0r) = l(tfrac92,,1,,-2r),
D = A + AD = (4,2,-2) + l(-tfrac12,-5,4r) = l(tfrac72,,-3,,2r)

Passo 5

Os pontos M e N dividem AC em três partes iguais, então
tfrac13,AC = l(0,-2,tfrac43r)
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M = A + tfrac13,AC = l(4,0,-tfrac23r), N = A + tfrac23,AC = l(4,-2,tfrac23r)

Passo 6

Finalmente,
NB = B - N = l(tfrac92,1,-2r) - l(4,-2,tfrac23r) = l(tfrac12,;3,;-2-tfrac23r) = l(tfrac12,3,-tfrac83r)

Resposta

NB = l(tfrac12,,3,,-tfrac83r)

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