Quando existe, o que é a intersecção entre dois planos?

Passo 1

O enunciado pergunta, em geometria analítica no espaço, o que ocorre quando dois planos se cruzam. O conteúdo aqui é a intersecção de planos em R^3. Para descrever essa intersecção, vamos precisar da forma geral de um plano e do produto vetorial para achar a direção da linha de intersecção.

Passo 2

Sejam dois planos
P1: a1x + b1y + c1z + d1 = 0, P2: a2x + b2y + c2z + d2 = 0
Cada plano é determinado pelo seu vetor normal n1 = (a1,b1,c1) e n2 = (a2,b2,c2).

Passo 3

Para que haja intersecção não\mbox{-}vazia em forma de reta, os planos não podem ser paralelos distintos. Em outras palavras, n1 não pode ser múltiplo escalar de n2. Se n1 e n2 forem paralelos, ou coincidem (planos iguais) ou não se tocam (paralelos distintos). Caso contrário, eles se cruzam ao longo de uma reta.

Passo 4

A direção dessa reta de intersecção é dada pelo produto vetorial
v = n1 times n2
Isso porque v é ortogonal a ambos n1 e n2, logo fica contido em P1 e em P2. Para encontrar um ponto qualquer p0=(x0,y0,z0) na reta, basta resolver o sistema
a1x + b1y + c1z + d1 = 0, a2x + b2y + c2z + d2 = 0
por exemplo atribuindo um valor a uma das variáveis livres.

Passo 5

Assim, a intersecção, quando existe e não é todo o plano (caso coincidente), é a reta paramétrica
r(t) = p0 + t,v, tinR,
onde v = n1 times n2 e p0 satisfaz ambos os planos.

Resposta

Quando dois planos não são paralelos nem coincidentes, a intersecção é sempre uma reta cuja direção é o produto vetorial dos vetores normais dos planos.

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