Quando existe, o que é a intersecção entre dois planos?
Passo 1
O enunciado pergunta, em geometria analítica no espaço, o que ocorre quando dois planos se cruzam. O conteúdo aqui é a intersecção de planos em
. Para descrever essa intersecção, vamos precisar da forma geral de um plano e do produto vetorial para achar a direção da linha de intersecção.
Passo 2
Sejam dois planos
Cada plano é determinado pelo seu vetor normal
e
.
Passo 3
Para que haja intersecção não\mbox{-}vazia em forma de reta, os planos não podem ser paralelos distintos. Em outras palavras,
não pode ser múltiplo escalar de
. Se
e
forem paralelos, ou coincidem (planos iguais) ou não se tocam (paralelos distintos). Caso contrário, eles se cruzam ao longo de uma reta.
Passo 4
A direção dessa reta de intersecção é dada pelo produto vetorial
Isso porque
é ortogonal a ambos
e
, logo fica contido em
e em
. Para encontrar um ponto qualquer
na reta, basta resolver o sistema
por exemplo atribuindo um valor a uma das variáveis livres.
Passo 5
Assim, a intersecção, quando existe e não é todo o plano (caso coincidente), é a reta paramétrica
onde
e
satisfaz ambos os planos.
Resposta
Quando dois planos não são paralelos nem coincidentes, a intersecção é sempre uma reta cuja direção é o produto vetorial dos vetores normais dos planos.