Dadas as retas r1:=cx=t y=t+1 z=-t+2 t in R e r2:=cx=s y=s-1 s in R: z=s-2
Qual é a distância entre as retas?

Passo 1

O enunciado dá duas retas em R^3:
r1:;x=t,;y=t+1,;z=-t+2 e r2:;x=s,;y=s-1,;z=s-2,
ambas paramétricas. O conteúdo aqui é o cálculo da distância entre duas retas “reversas” (skew) em R^3. Para isso, vamos usar a fórmula
d=l|,(Q-P)cdot (v1times v2)r||v1times v2|,
onde v1,v2 são vetores diretores de r1,r2 e P,Q pontos quaisquer em r1,r2.

Passo 2

Identificamos vetores diretores e pontos:
Da reta r1, ao tomar t=0 temos o ponto
P=(0,1,2),
e o vetor diretor
v1=(1,1,-1)
Da reta r2, ao tomar s=0 temos o ponto
Q=(0,-1,-2),
e o vetor diretor
v2=(1,1,1)

Passo 3

Calculamos o produto vetorial v1times v2. Usando a regra de Sarrus,
v1times v2 = i&j&k 1&1&-1 1&1&1 =2,i-2,j+0,k=(2,-2,0)
O módulo desse vetor é
|v1times v2|=raiz2^2+(-2)^2+0^2=raiz8=2raiz2

Passo 4

Formamos o vetor que liga P a Q:
Q-P=(0,-1,-2)-(0,1,2)=(0,-2,-4)

Passo 5

Aplicamos a fórmula da distância:
(Q-P)cdot(v1times v2) =(0,-2,-4)cdot(2,-2,0)=0cdot2+(-2)cdot(-2)+(-4)cdot0=4
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d=|4|2raiz2=42raiz2=2raiz2=raiz2

Resposta

raiz2

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