Dadas as três retas e de equações: e r3:=cx=k-1 y=1 z=-k+1 k in R,
Nos itens a , b e c, diga justificando, qual é a posição relativa e a distância entre as retas. E, se for o caso, qual a sua interseção. Nos cálculos, use somente a fórmula da distância entre os planos a x+b y+c z=d e a x+b y+c z=d^prime que é |d-d^prime| /|(a, b, c)|. As demais fórmulas devem ser justificadas como foram encontradas: r1 e r2.
Passo 1
O enunciado dá as retas
r1:;x=t+1,;y=t-1,;z=2t,;tinR,
r2:;x=s,;y=s,;z=2s-3,;sinR
O conteúdo envolve posição relativa de retas no espaço (checagem de paralelismo/interseção) e cálculo da distância entre retas paralelas usando a fórmula da distância entre planos ,ax+by+cz=d e ,ax+by+cz=d', que é
lvert d-d'rvert|(a,b,c)|
Passo 2
Escrevemos ambas em forma vetorial: escolhemos pontos e vetores diretores
r1:;(x,y,z)=(1,-1,0)+t,(1,1,2),
r2:;(x,y,z)=(0,0,-3)+s,(1,1,2)
Aqui o vetor diretor de r1 é ,(1,1,2) e o de r2 também é ,(1,1,2).
Passo 3
Como os vetores diretores são iguais, as retas são paralelas. Para ver se coincidem, basta verificar se um ponto de r1, por exemplo (1,-1,0), satisfaz a equação paramétrica de r2:
procurar s tais que
(1,-1,0)=(s,s,2s-3)
implica s=1 e s=-1 simultaneamente, o que é impossível. Logo são retas paralelas distintas e não se intersectam.
Passo 4
Para calcular a distância entre retas paralelas, montamos dois planos perpendiculares ao vetor diretor comum (1,1,2), cada um contendo uma das retas. O plano perpendicular a (1,1,2) e passando por (1,-1,0) tem equação
1,(x-1)+1,(y+1)+2,(z-0)=0
isto é
x+y+2z=0
O plano paralelo a este e passando por (0,0,-3) satisfaz
x+y+2z=d',
e como nele (0,0,-3) deve satisfazer, temos 0+0+2(-3)=d', ou seja d'=-6. Portanto o segundo plano é