Dadas as três retas r1, r2 e r3 de equações:
r1:=cx=t+1 y=t-1 z=2 t t in R, r2:=cx=s y=s z=2 s-3 s in R e r3:=cx=k-1 y=1 z=-k+1 k in R,
Nos itens a , b e c, diga justificando, qual é a posição relativa e a distância entre as retas. E, se for o caso, qual a sua interseção. Nos cálculos, use somente a fórmula da distância entre os planos a x+b y+c z=d e a x+ b y+c z=d^prime que é |d-d^prime| /|(a, b, c)|. As demais fórmulas devem ser justificadas como foram encontradas:
r1 e r2.

Passo 1

O enunciado dá as retas
r1:;x=t+1,;y=t-1,;z=2t,;tinR,
r2:;x=s,;y=s,;z=2s-3,;sinR
O conteúdo envolve posição relativa de retas no espaço (checagem de paralelismo/interseção) e cálculo da distância entre retas paralelas usando a fórmula da distância entre planos ,ax+by+cz=d e ,ax+by+cz=d', que é
lvert d-d'rvert|(a,b,c)|

Passo 2

Escrevemos ambas em forma vetorial: escolhemos pontos e vetores diretores
r1:;(x,y,z)=(1,-1,0)+t,(1,1,2),
r2:;(x,y,z)=(0,0,-3)+s,(1,1,2)
Aqui o vetor diretor de r1 é ,(1,1,2) e o de r2 também é ,(1,1,2).

Passo 3

Como os vetores diretores são iguais, as retas são paralelas. Para ver se coincidem, basta verificar se um ponto de r1, por exemplo (1,-1,0), satisfaz a equação paramétrica de r2:
procurar s tais que
(1,-1,0)=(s,s,2s-3)
implica s=1 e s=-1 simultaneamente, o que é impossível. Logo são retas paralelas distintas e não se intersectam.

Passo 4

Para calcular a distância entre retas paralelas, montamos dois planos perpendiculares ao vetor diretor comum (1,1,2), cada um contendo uma das retas. O plano perpendicular a (1,1,2) e passando por (1,-1,0) tem equação
1,(x-1)+1,(y+1)+2,(z-0)=0
isto é
x+y+2z=0
O plano paralelo a este e passando por (0,0,-3) satisfaz
x+y+2z=d',
e como nele (0,0,-3) deve satisfazer, temos 0+0+2(-3)=d', ou seja d'=-6. Portanto o segundo plano é
x+y+2z=-6

Passo 5

Aplicando a fórmula da distância entre planos
lvert d-d'rvert|(a,b,c)| =lvert 0 -(-6)rvertraiz1^2+1^2+2^2 =6raiz6 =6raiz6cdotraiz6raiz6 =6raiz66 = ;2

Resposta

As retas r1 e r2 são paralelas e distintas (não se intersectam) e a distância entre elas é 2.

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