Dadas as retas lx=t+1 y=t-1 z=t+2 t in R e lx=s+1 y=s-1 z=s-2 s in R :
Qual é a distância entre as retas?

Passo 1

O enunciado dá duas retas em
e reta . Vamos precisar identificar um ponto em cada reta, o vetor diretor comum e usar a fórmula da distância entre retas paralelas.

Passo 2

Escolhemos pontos-padrão em cada reta e seu vetor diretor.
Para r: ponto P1=(1,-1,2) (pegando t=0) e vetor diretor d=(1,1,1).
Para s: ponto P2=(1,-1,-2) (pegando s=0) e mesmo vetor diretor d=(1,1,1).
Como os dois vetores diretores coincidem, as retas são paralelas.

Passo 3

A fórmula da distância D entre retas paralelas com vetor diretor d é
D = l|,(P2 - P1)times d,r|| d|
Aqui times é o produto vetorial e |cdot| a norma euclidiana.

Passo 4

Calculamos o vetor P2 - P1:
P2 - P1 = (1,-1,-2)-(1,-1,2) = (0,0,-4)
Então o produto vetorial é
(0,0,-4)times(1,1,1) = l(0cdot1 - (-4)cdot1,; -l(0cdot1 - (-4)cdot1r),;0cdot1-0cdot1r) = (4,,-4,,0)
Sua norma é
|(4,-4,0)| = raiz4^2 + (-4)^2 + 0^2 = raiz32 = 4raiz2
E a norma de d vale
| d| = |(1,1,1)| = raiz1+1+1 = raiz3

Passo 5

Substituindo na fórmula:
D = 4raiz2raiz3 = 4raiz63

Resposta

A distância entre as retas é 4raiz63.

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