Dadas as três retas e de equações: e r3:=cx=k-1 y=1 z=-k+1 k in R,
Nos itens a , b e c, diga justificando, qual é a posição relativa e a distância entre as retas. E, se for o caso, qual a sua interseção. Nos cálculos, use somente a fórmula da distância entre os planos a x+b y+c z=d e a x+b y+c z=d^prime que é |d-d^prime| /|(a, b, c)|. As demais fórmulas devem ser justificadas como foram encontradas: r1 e r3.
Passo 1
O enunciado dá duas retas em forma paramétrica
e (r_{3}]:
Vamos determinar a posição relativa (se são paralelas, concorrentes ou reversas) e, no caso de reversas, calcular a distância entre elas.
Passo 2
Extraímos um ponto em cada reta e seus vetores diretores:
para r1, tomamos A=(1,-1,0) em t=0 e vetor diretor
v1=(1,1,2)
para r3, tomamos B=(-1,1,1) em k=0 e vetor diretor
v3=(1,0,-1)
Verificamos se os vetores são colineares: não existe lambda tal que v1=lambdav3. Logo as retas não são paralelas.
Passo 3
Procuramos interseção resolvendo
(1+t,,-1+t,,2t) = (k-1,,1,,-k+1)
Das duas primeiras coordenadas vem t=2 e k=4, mas na terceira teríamos 2cdot2=4neq -4+1=-3. Portanto não há ponto comum: as retas são reversas.
Passo 4
Para medir a distância entre retas reversas, montamos o plano pi que contém r1 e é paralelo a r3. Seu vetor normal é