Dadas as três retas r1, r2 e r3 de equações:
r1:=cx=t+1 y=t-1 z=2 t t in R, r2:=cx=s y=s z=2 s-3 s in R e r3:=cx=k-1 y=1 z=-k+1 k in R,
Nos itens a , b e c, diga justificando, qual é a posição relativa e a distância entre as retas. E, se for o caso, qual a sua interseção. Nos cálculos, use somente a fórmula da distância entre os planos a x+b y+c z=d e a x+ b y+c z=d^prime que é |d-d^prime| /|(a, b, c)|. As demais fórmulas devem ser justificadas como foram encontradas:
r1 e r3.

Passo 1

O enunciado dá duas retas em forma paramétrica
e (r_{3}]:

Vamos determinar a posição relativa (se são paralelas, concorrentes ou reversas) e, no caso de reversas, calcular a distância entre elas.

Passo 2

Extraímos um ponto em cada reta e seus vetores diretores:
para r1, tomamos A=(1,-1,0) em t=0 e vetor diretor
v1=(1,1,2)
para r3, tomamos B=(-1,1,1) em k=0 e vetor diretor
v3=(1,0,-1)
Verificamos se os vetores são colineares: não existe lambda tal que v1=lambdav3. Logo as retas não são paralelas.

Passo 3

Procuramos interseção resolvendo
(1+t,,-1+t,,2t) = (k-1,,1,,-k+1)
Das duas primeiras coordenadas vem t=2 e k=4, mas na terceira teríamos 2cdot2=4neq -4+1=-3. Portanto não há ponto comum: as retas são reversas.

Passo 4

Para medir a distância entre retas reversas, montamos o plano pi que contém r1 e é paralelo a r3. Seu vetor normal é
n = v1timesv3 = i&j&k 1&1&2 1&0&-1 = (-1,3,-1)
A equação de pi passando por A=(1,-1,0) é
-1(x-1)+3l(y+1r)-1(z-0)=0 Longrightarrow x-3y+z-4=0

Passo 5

A distância de r3 a pi é a distância de B ao plano. Usamos a fórmula
d = l|a x0 + b y0 + c z0 + dr|raiza^2+b^2+c^2
para o plano a x + b y + c z + d = 0. Aqui (a,b,c,d)=(1,-3,1,-4) e (x0,y0,z0)=B=(-1,1,1), então
d = l|(-1)-3cdot1+1cdot1-4r|raiz1^2+(-3)^2+1^2 = l|-1-3+1-4r|raiz11 = 7raiz11

Resposta

As retas r1 e r3 são reversas (nem paralelas nem concorrentes) e a distância entre elas é
7raiz11

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