Se possivel, encontre as inversas das seguintes matrizes:
[cccc1 & 1 & 1 & 1 1 & 2 & -1 & 2 1 & -1 & 2 & 1 1 & 3 & 3 & 2]

Passo 1

O enunciado pede a inversa de uma matriz 4times4. O conteúdo é o método de Gauss–Jordan para inverter matrizes: vamos construir a matriz aumentada [Amid I], aplicar operações elementares para transformá-la em [Imid A^-1] e, ao final, ler A^-1.

Passo 2

Montamos a matriz aumentada [Amid I] e eliminamos a primeira coluna abaixo de a11=1 subtraindo a primeira linha das linhas 2, 3 e 4. O resultado é:
1 & 1 & 1 & 1 &mid& 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & -2 & 1 &mid& -1 & 1 & 0 & 0 0 & -2 & 1 & 0 &mid& -1 & 0 & 1 & 0 0 & 2 & 2 & 1 &mid& -1 & 0 & 0 & 1

Passo 3

Usamos o pivô a22=1 na segunda linha para zerar as outras entradas da coluna 2. Fazemos
R1 R1-R2, R3 R3+2R2, R4 R4-2R2,
obtendo
1 & 0 & 3 & 0 &mid& 2 & -1 & 0 & 0 0 & 1 & -2 & 1 &mid& -1 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & -3 & 2 &mid& -3 & 2 & 1 & 0 0 & 0 & 6 & -1 &mid& 1 & -2 & 0 & 1

Passo 4

Escalonamos na posição (3,3): dividimos a linha 3 por -3 para ter pivô 1, e zeramos coluna 3 em linhas 1, 2, 4:
R3 -tfrac13R3, R1 R1-3R3, R2 R2+2R3, R4 R4-6R3
Fica
1 & 0 & 0 & 2 &mid& -1 & 1 & 1 & 0 0 & 1 & 0 & -tfrac13 &mid& 1 & -tfrac13 & -tfrac23 & 0 0 & 0 & 1 & -tfrac23 &mid& 1 & -tfrac23 & -tfrac13 & 0 0 & 0 & 0 & 3 &mid& -5 & 2 & 2 & 1

Passo 5

Por fim, dividimos a linha 4 por 3 e usamos esse pivô para zerar a coluna 4 em cima:
R4 tfrac13R4, R1 R1-2R4, R2 R2+tfrac13R4, R3 R3+tfrac23R4
Isso transforma a matriz em [Imid A^-1].

Passo 6

Lemos a parte direita como A^-1. Em forma de bloco:
A^-1 = tfrac73 & -tfrac13 & -tfrac13 & -tfrac23[6pt] tfrac49 & -tfrac19 & -tfrac49 & tfrac19[6pt] -tfrac19 & -tfrac29 & tfrac19 & tfrac29[6pt] -tfrac53 & tfrac23 & tfrac23 & tfrac13 ]

Resposta

A^-1 = tfrac73 & -tfrac13 & -tfrac13 & -tfrac23[6pt] tfrac49 & -tfrac19 & -tfrac49 & tfrac19[6pt] -tfrac19 & -tfrac29 & tfrac19 & tfrac29[6pt] -tfrac53 & tfrac23 & tfrac23 & tfrac13 ]

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