Sendo A=[rrr1 & 2 & -1 0 & -1 & 2], B=[rr2 & -1 1 & 0] e A^t a matriz transposta de A, determine o valor de A^t cdot B.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o valor de A^t cdot B , onde A^t é a matriz transposta de A . Vamos usar conteúdos de Álgebra Linear, especificamente sobre matrizes e operações com elas. Para resolver isso, vamos precisar saber como transpor uma matriz e como multiplicar duas matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma matriz transposta. Transpor uma matriz significa trocar suas linhas por colunas. Então, se temos a matriz A :
A = 1 & 2 & -1 0 & -1 & 2
A transposta de A , que é A^t , vai ficar assim:
A^t = 1 & 0 2 & -1 -1 & 2

Passo 3

Agora que temos A^t , vamos lembrar como multiplicar duas matrizes. Para multiplicar A^t (que é uma matriz 3x2) pela matriz B (que é 2x2), o número de colunas de A^t deve ser igual ao número de linhas de B . Isso está ok aqui, então vamos em frente!
A multiplicação de matrizes é feita multiplicando as linhas da primeira matriz pelas colunas da segunda matriz e somando os resultados. Vamos fazer isso passo a passo.

Passo 4

Vamos escrever as matrizes que vamos multiplicar:
A^t = 1 & 0 2 & -1 -1 & 2 , B = 2 & -1 1 & 0

Passo 5

Agora, vamos multiplicar A^t por B . O resultado será uma nova matriz C de dimensão 3x2. Vamos calcular cada elemento de C individualmente.
C = A^t cdot B = c11 & c12 c21 & c22 c31 & c32
Onde cada elemento cij é calculado assim:
cij = linha i de A^t times coluna j de B

Passo 6

Vamos calcular cada elemento de C :
  1. Para c11 :
c11 = (1 times 2) + (0 times 1) = 2 + 0 = 2
  1. Para c12 :
c12 = (1 times -1) + (0 times 0) = -1 + 0 = -1
  1. Para c21 :
c21 = (2 times 2) + (-1 times 1) = 4 - 1 = 3
  1. Para c22 :
c22 = (2 times -1) + (-1 times 0) = -2 + 0 = -2
  1. Para c31 :
c31 = (-1 times 2) + (2 times 1) = -2 + 2 = 0
  1. Para c32 :
c32 = (-1 times -1) + (2 times 0) = 1 + 0 = 1

Resposta

Portanto, o valor de A^t cdot B é:
A^t cdot B = 2 & -1 3 & -2 0 & 1

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