Dadas as retas r:rx=3+2 lambda y=1+lambda z=-3-lambda e s: x-43=y-22=z+3-1 são concorrentes, e determine uma equação do plano pi1 determinado pelas retas r e s.

Passo 1

O enunciado dá as retas
e
,
e pede a equação do plano que contém essas duas retas.
Conteúdo: geometria analítica de retas e planos em , interseção de retas e produto vetorial para obter normal de plano.

Passo 2

Para achar o ponto de interseção fazemos
(3+2lambda,,1+lambda,,-3-lambda) = (4+3t,,2+2t,,-3-t)
Das três iguais:
  1. 3+2lambda=4+3timplies2lambda-3t=1,
  2. 1+lambda=2+2timplieslambda-2t=1,
  3. -3-lambda=-3-timplieslambda=t.
    Substituindo lambda=t em 2 dá t-2t=1implies t=-1, logo lambda=-1.
    O ponto comum é
A=(3+2(-1),,1+(-1),,-3-(-1))=(1,0,-2)

Passo 3

Os vetores diretores são
vec v=(2,1,-1) de r e vec u=(3,2,-1) de s.
O vetor normal ao plano é dado pelo produto vetorial
vec n=vec vtimesvec u = i & j & k 2 & 1 & -1 3 & 2 & -1 =(1,-1,1)

Passo 4

A equação do plano com normal vec n=(1,-1,1) passando por A=(1,0,-2) é
vec ncdotl((x,y,z)-Ar)=0
(1,-1,1)cdot(x-1,;y-0,;z+2)=0
1,(x-1)-1,(y)+1,(z+2)=0
x -1 - y + z +2 =0
x - y + z +1 =0

Resposta

A equação do plano pi1 é
x - y + z + 1 = 0

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