Determine se a afirmação é verdadeira ou falsa. Se for verdadeira, explique ou demonstre. Caso contrário, dê um contra-exemplo que mostre que é falsa.
A transformação linear definida por é injetora.
Passo 1
Temos a transformação linear
e queremos verificar se ela é injetora. Para isso, usaremos o fato de que uma transformação linear é injetora se, e somente se, o seu núcleo for trivial, ou seja,
Passo 2
Calculamos
isto é,
Da terceira equação vem dá , logo .
Finalmente, em temos , ou seja, e então .
Assim e . Portanto,
Passo 3
Como ker(T) é trivial, concluímos que T é injetora.
Resposta
A afirmação é verdadeira: T é injetora pois ker(T)=(0,0,0).