Determine se a afirmação é verdadeira ou falsa. Se for verdadeira, explique ou demonstre. Caso contrário, dê um contra-exemplo que mostre que é falsa.
A transformação linear T: R^3 R^3 definida por T(x, y, z)=(x+z, y+z, x+y) é injetora.

Passo 1

Temos a transformação linear
Tcolon R^3toR^3, T(x,y,z) = (x+z,;y+z,;x+y)
e queremos verificar se ela é injetora. Para isso, usaremos o fato de que uma transformação linear é injetora se, e somente se, o seu núcleo for trivial, ou seja,
ker(T)=(0,0,0)

Passo 2

Calculamos
isto é,
Da terceira equação vem , logo .
Finalmente, em temos , ou seja, e então .
Assim e . Portanto,

Passo 3

Como ker(T) é trivial, concluímos que T é injetora.

Resposta

A afirmação é verdadeira: T é injetora pois ker(T)=(0,0,0).

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