Determine se a afirmação é verdadeira ou falsa. Se for verdadeira, explique ou demonstre. Caso contrário, dê um contra-exemplo que mostre que é falsa.
A função T: R^2 R^4 definida por T(x, y)=(x^2-y, y-x, 0,0) é uma transformação linear.

Passo 1

O enunciado define
Tcolon R^2 to R^4
por
T(x,y) = l(x^2 - y,; y - x,; 0,; 0r)
e nos pede para verificar se T é linear. Lembrando que T é linear se, e somente se, para todo u,vinR^2 e todo escalar cinR, valem
  1. T(u+v)=T(u)+T(v)
  2. T(c,u)=c,T(u).

Passo 2

Vamos testar a propriedade de homogeneidade T(c,u)=c,T(u). Escolha
u = (1,0), c = 2
Calculamos primeiro
T(1,0) = (underbrace1^2 - 0=1,;underbrace0-1=-1,;0,;0) = (1,-1,0,0)
Em seguida,
T(2cdot(1,0)) = T(2,0) = (2^2 - 0,;0 - 2,;0,;0) = (4,-2,0,0)
Por outro lado,
2,T(1,0) = 2cdot(1,-1,0,0) = (2,-2,0,0)
Como (4,-2,0,0)neq(2,-2,0,0), a condição T(2u)=2,T(u) falha.

Resposta

A afirmação é falsa. Um contra-exemplo é u=(1,0) e c=2: T(2u)neq 2,T(u).

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