Resolva a equação diferencial dada, sujeita a condição inicial indicada.
(e^-y+1) sen x d x=(1+cos x) d y y(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
l(e^-y+1r),sen x,dx ;=;(1+cos x),dy
com a condição inicial y(0)=0.
O conteúdo aqui é equação separável, ou seja, vamos colocar todos os termos em y com dy de um lado e todos os termos em x com dx do outro, e depois integrar.

Passo 2

Separe as variáveis dividindo ambos os lados por (1+cos x) e por (e^-y+1):
dy,e^-y+1, ;=; sen x,1+cos x,,dx

Passo 3

Escreva as integrais de cada lado:
integral dy,e^-y+1, ;=; integral sen x,1+cos x,,dx

Passo 4

Calcule a integral à esquerda. Use u=e^y, então du=e^y,dy e
dy,e^-y+1, =e^y,dy,e^y+1, =du,u+1,
Logo
integral dy,e^-y+1, =integral du,u+1, =lnl|u+1r| + C1 =lnl(1+e^yr)+C1

Passo 5

Calcule a integral à direita. Use t=1+cos x, então dt=-sen x,dx e
sen x,1+cos x,,dx =-dt,t,
Assim
integral sen x,1+cos x,,dx =-integral dtt =-lnl|tr|+C2 =-lnl(1+cos xr)+C2

Passo 6

Igualando as duas primitivas (absorvendo C2-C1 num único C):
lnl(1+e^yr) =-lnl(1+cos xr)+C ;Longrightarrow; lnl(1+e^yr)+lnl(1+cos xr)=C
Exponenciando obtemos a forma implícita
l(1+e^yr)l(1+cos xr)=K,
onde K=e^C.

Passo 7

Use a condição inicial y(0)=0. Em x=0 temos cos0=1 e e^y(0)=e^0=1, então
(1+1),(1+1)=K ;Longrightarrow; 2cdot2=K ;Longrightarrow; K=4
Logo
1+e^y=4,1+cos x, ;Longrightarrow; e^y=4,1+cos x,-1 =4-(1+cos x)1+cos x =3-cos x1+cos x
Tomando logaritmo:
y=ln!gl(3-cos x1+cos xgr)

Resposta

boxedy(x)=ln!gl(3-cos x1+cos xgr)

Exercícios relacionados