Resolva a equação diferencial dada, sujeita a condição inicial indicada.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
com a condição inicial .
O conteúdo aqui é equação separável, ou seja, vamos colocar todos os termos em com de um lado e todos os termos em com do outro, e depois integrar.
Passo 2
Separe as variáveis dividindo ambos os lados por e por :
Passo 3
Escreva as integrais de cada lado:
Passo 4
Calcule a integral à esquerda. Use , então e
Logo
Passo 5
Calcule a integral à direita. Use t=1+cos x, então dt=-sen x,dx e
sen x,1+cos x,,dx =-dt,t,
Assim
integral sen x,1+cos x,,dx =-integral dtt =-lnl|tr|+C2 =-lnl(1+cos xr)+C2
Passo 6
Igualando as duas primitivas (absorvendo C2-C1 num único C):