Dadas as seguinte integrais, esboce a região de integração e calcule-as.
integral0^1 integralraizy^raiz[3]y x d x d y

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a região
D = (x,y)mid 0<= y<=1,;raizy<= x<=raiz[3]y
e calcular a integral
integral0^1integralraizy^raiz[3]y x,dx,dy
O conteúdo aqui é interpretação de região em integrais duplas e cálculo de uma integral iterada.

Passo 2

Para entender a região, note que x=raizy equivale a y=x^2 e x=raiz[3]y equivale a y=x^3. Como y varia de 0 a 1, as curvas se cruzam em x=0 e x=1. Então, em coordenadas (x,y),
D=(x,y)mid 0<= x<=1,;x^3<= y<= x^2
Esse é o “filete” entre as curvas y=x^3 (abaixo) e y=x^2 (acima).

Passo 3

No formato dado, integramos primeiro em x:
integral0^1integralraizy^raiz[3]y x,dx,dy =integral0^1l[x^22r]x=raizy^x=y^1/3dy =integral0^112l(y^2/3-yr),dy

Passo 4

Agora calcule a integral em y:
integral0^1y^2/3,dy =l[y^5/35/3r]0^1 =35, integral0^1y,dy =l[y^22r]0^1 =12
Logo,
integral0^112l(y^2/3-yr),dy =12l(35-12r) =12cdot110 =120

Resposta

120

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