Prove usando a definição os seguintes limites:
lim x -4(2 x+3)=-5

Passo 1

O enunciado pede para provar, usando a definição de limite epsilon de<a, que
limxto -4(2x+3) = -5
Aqui o conteúdo é a definição formal de limite de função: para cada epsilon>0 devemos encontrar um de<a>0 tal que, sempre que 0<|x-(-4)|<de<a, valha |(2x+3)-(-5)|<epsilon.

Passo 2

Escrevendo a definição, queremos mostrar:
forall epsilon>0 exists de<a>0 tal que se 0<|x+4|<de<a então |,2x+3+5,|<epsilon ã

Passo 3

Observe que
|,2x+3+5,| = |,2x+8,| = 2,|x+4|
Para forçar 2|x+4|<epsilon basta garantir |x+4|<epsilon/2. Logo, escolhemos
de<a = epsilon2
Assim, sempre que 0<|x+4|<de<a teremos
|,2x+3+5,| = 2,|x+4| < 2de<a = 2cdotepsilon2 = epsilon

Passo 4

Mostramos que, dado qualquer epsilon>0, basta tomar de<a=epsilon/2 para que 0<|x+4|<de<a implique |(2x+3)-(-5)|<epsilon. Isso completa a prova pelo método epsilon de<a.

Resposta

Foi demonstrado que
limxto -4(2x+3) = -5

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