A questão pede para provar, usando a definição ε–δ de limite, que . O conteúdo é limite de função real e precisaremos aplicar a definição formal: dado encontrar tal que implique .
Passo 2
Partimos da definição de limite: devemos mostrar que para todo existe tal que se então
Passo 3
Passo 4
Para trabalhar com essa expressão, defina . Então e
Passo 5
Passo 6
Agora queremos controlar |h|cdot|5h-14|. Note que
Passo 7
|5h-14|<=5|h|+14
Passo 8
Escolhendo de<a<=1 garantimos |h|<1, logo
Passo 9
|5h-14|<=5cdot1+14=19
Passo 10
Portanto, sempre que 0<|h|<de<a<=1 vale
Passo 11
|f(x)-1|=|h|cdot|5h-14|<=19|h|=19|x+2|
Passo 12
Para que |f(x)-1|<varepsilon basta ter 19|x+2|<varepsilon, ou seja, |x+2|<varepsilon/19. Por isso, se definirmos
Passo 13
de<a=minl1,,varepsilon/19r,
Passo 14
então sempre que 0<|x+2|<de<a teremos |f(x)-1|<varepsilon, comprovando a definição de limite.
Passo 15
Assim, concluímos que limxto -2(5x^2+6x-7)=1.
Resposta
Como tomamos de<a=min1,varepsilon/19 e mostramos que isso garante |f(x)-1|<varepsilon, a definição ε–δ está satisfeita, logo limxto -2(5x^2+6x-7)=1.