Prove usando a definição os seguintes limites:
lim x -2(5 x^2+6 x-7)=1

Passo 1

A questão pede para provar, usando a definição ε–δ de limite, que limxto -2(5x^2+6x-7)=1. O conteúdo é limite de função real e precisaremos aplicar a definição formal: dado varepsilon>0 encontrar de<a>0 tal que 0<|x+2|<de<a implique |f(x)-1|<varepsilon.

Passo 2

Partimos da definição de limite: devemos mostrar que para todo varepsilon>0 existe de<a>0 tal que se 0<|x+2|<de<a então

Passo 3

|f(x)-1|=|5x^2+6x-7-1|=|5x^2+6x-8|

Passo 4

Para trabalhar com essa expressão, defina h=x+2. Então x=h-2 e

Passo 5

|5x^2+6x-8|=l|5(h-2)^2+6(h-2)-8r|=|5h^2-14h|=|h|cdot|5h-14|

Passo 6

Agora queremos controlar |h|cdot|5h-14|. Note que

Passo 7

|5h-14|<=5|h|+14

Passo 8

Escolhendo de<a<=1 garantimos |h|<1, logo

Passo 9

|5h-14|<=5cdot1+14=19

Passo 10

Portanto, sempre que 0<|h|<de<a<=1 vale

Passo 11

|f(x)-1|=|h|cdot|5h-14|<=19|h|=19|x+2|

Passo 12

Para que |f(x)-1|<varepsilon basta ter 19|x+2|<varepsilon, ou seja, |x+2|<varepsilon/19. Por isso, se definirmos

Passo 13

de<a=minl1,,varepsilon/19r,

Passo 14

então sempre que 0<|x+2|<de<a teremos |f(x)-1|<varepsilon, comprovando a definição de limite.

Passo 15

Assim, concluímos que limxto -2(5x^2+6x-7)=1.

Resposta

Como tomamos de<a=min1,varepsilon/19 e mostramos que isso garante |f(x)-1|<varepsilon, a definição ε–δ está satisfeita, logo limxto -2(5x^2+6x-7)=1.

Exercícios relacionados