Dadas as seguintes equações
a) 6 y=3 x+15
b) 6 x-3 y=-15
c) 2 y=-x+5
d) 3 x=6 y+15
Qual de elas é uma segunda equação para que o sistema cuja primeira equação é x-2 y=-5 tenha infinitas soluções?

Passo 1

O enunciado dá como primeira equação
x - 2y = -5
e pede qual das opções a), b), c) e d) pode ser usada como segunda equação de modo que o sistema tenha infinitas soluções. Sabemos que isso ocorre exatamente quando as duas equações são proporcionais (dependentes), isto é, a segunda deve ser um múltiplo escalar da primeira.

Passo 2

Chamando a primeira equação de
x - 2y = -5,
para que haja infinitas soluções a segunda equação deve ser da forma
k(x - 2y) = kcdot(-5)
com kneq 0. Isso gera a família
kx - 2k,y = -5k

Passo 3

Reescrevendo cada opção na forma Ax + By = C e comparando com kx - 2k,y = -5k:
a) 6y = 3x + 15
passa a ser
3x - 6y = -15
Aqui vemos que é exatamente 3(x - 2y) = -15, ou seja, k=3.
b) 6x - 3y = -15
já está na forma 6x - 3y = -15, mas para ser múltiplo teríamos k=6 em x e logo precisaríamos de -12 em y, não de -3. Não é proporcional.
c) 2y = -x + 5
reorganizando dá
x + 2y = 5,
que não é da forma x - 2y = -5 vezes algum k.
d) 3x = 6y + 15
passa a ser
3x - 6y = 15,
o que equivale a 3(x - 2y) = 15, isto é x - 2y = 5, não -5. É paralelo mas não coincide.

Passo 4

A única opção que é múltiplo escalar exato da primeira equação é a alternativa a).

Resposta

(a)

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