Dadas as seguintes equações diferenciais
determine o que se pede em cada item:
Encontre a solução em série correspondente à maior raiz.
determine o que se pede em cada item:
Encontre a solução em série correspondente à maior raiz.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é
. A matéria que vamos usar aqui é a Séries de Potências, que nos ajuda a encontrar soluções para equações diferenciais quando não conseguimos resolver de forma direta. Vamos precisar montar uma série de potências para a solução
e substituir na equação para encontrar os coeficientes dessa série.
Passo 2
Primeiro, assumimos que a solução
pode ser escrita como uma série de potências em torno de
. Então, temos:
Aqui,
são os coeficientes que precisamos encontrar e
é o expoente inicial que determinaremos mais adiante.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas de
que aparecem na equação diferencial. A primeira derivada é:
E a segunda derivada é:
Passo 4
Substituímos
,
e
na equação diferencial original:
Passo 5
Vamos simplificar cada termo multiplicando as potências de
:
- Primeiro termo:
- Segundo termo:
- Terceiro termo:
Passo 6
Agora, vamos reorganizar os termos para que todas as séries tenham a mesma potência de
. Para isso, ajustamos os índices de soma:
- Primeiro termo:
Deixamos como está.
- Segundo termo:
Deixamos como está.
- Terceiro termo:
Fizemos uma mudança de índice substituindo
por
.
Passo 7
Agora, combinamos todos os termos na equação:
Podemos fatorar
:
Passo 8
Para que essa igualdade seja válida para todo
, cada coeficiente da potência de
deve ser zero:
Podemos simplificar isso:
Passo 9
Antes de resolver a recorrência, precisamos encontrar o valor de
. Isso é feito substituindo
na equação:
Fatorando
:
Como
(caso trivial), obtemos:
Passo 10
O enunciado pede a solução correspondente à maior raiz. Então, escolhemos
.
Passo 11
Com
, usamos a relação de recorrência para encontrar os coeficientes:
Simplificando isso, encontramos os coeficientes em termos de
.
Passo 12
Calculamos os primeiros coeficientes:
-
Para
: -
Para
: -
Para
: -
Para
:
E assim por diante.
Passo 13
Agora, escrevemos a solução em série usando os coeficientes encontrados:
Podemos fatorar
e, para simplificar, escolhemos
:
Resposta
A solução em série correspondente à maior raiz é: