Dadas as seguintes equações diferenciais
2xy'' + y' + xy = 0
determine o que se pede em cada item:
Encontre a solução em série correspondente à maior raiz.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é . A matéria que vamos usar aqui é a Séries de Potências, que nos ajuda a encontrar soluções para equações diferenciais quando não conseguimos resolver de forma direta. Vamos precisar montar uma série de potências para a solução e substituir na equação para encontrar os coeficientes dessa série.

Passo 2

Primeiro, assumimos que a solução pode ser escrita como uma série de potências em torno de . Então, temos:
Aqui, são os coeficientes que precisamos encontrar e é o expoente inicial que determinaremos mais adiante.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de que aparecem na equação diferencial. A primeira derivada é:
E a segunda derivada é:

Passo 4

Substituímos , e na equação diferencial original:

Passo 5

Vamos simplificar cada termo multiplicando as potências de :
  1. Primeiro termo:
  1. Segundo termo:
  1. Terceiro termo:

Passo 6

Agora, vamos reorganizar os termos para que todas as séries tenham a mesma potência de . Para isso, ajustamos os índices de soma:
  1. Primeiro termo:
Deixamos como está.
  1. Segundo termo:
Deixamos como está.
  1. Terceiro termo:
Fizemos uma mudança de índice substituindo por .

Passo 7

Agora, combinamos todos os termos na equação:
Podemos fatorar :

Passo 8

Para que essa igualdade seja válida para todo , cada coeficiente da potência de deve ser zero:
Podemos simplificar isso:

Passo 9

Antes de resolver a recorrência, precisamos encontrar o valor de . Isso é feito substituindo na equação:
Fatorando :
Como (caso trivial), obtemos:

Passo 10

O enunciado pede a solução correspondente à maior raiz. Então, escolhemos .

Passo 11

Com , usamos a relação de recorrência para encontrar os coeficientes:
Simplificando isso, encontramos os coeficientes em termos de .

Passo 12

Calculamos os primeiros coeficientes:
  1. Para :
  2. Para :
    ãá
  3. Para :
  4. Para :
E assim por diante.

Passo 13

Agora, escrevemos a solução em série usando os coeficientes encontrados:
Podemos fatorar e, para simplificar, escolhemos :

Resposta

A solução em série correspondente à maior raiz é:

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