Dadas as seguintes equações de trajetória para uma partícula qualquer em um escoamento fluido:
Onde
é uma constante. Encontre o campo de velocidade transiente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me enviou um exercício que trata das equações de trajetória de uma partícula em um escoamento fluido. Nosso objetivo é encontrar o campo de velocidade transiente dessa partícula. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cinemática dos fluidos e cálculo, especificamente a derivação em relação ao tempo das equações de posição.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são as equações de trajetória que você forneceu:
Aqui,
,
e
representam as posições da partícula nos eixos
,
e
respectivamente, em função do tempo
. As letras maiúsculas
,
e
são constantes que identificam a partícula no escoamento.
Passo 3
O campo de velocidade transiente descreve como a velocidade da partícula varia no tempo. Para encontrá-lo, precisamos calcular a derivada das posições em relação ao tempo, ou seja, encontrar
,
e
.
Passo 4
Vamos começar calculando
:
Para encontrar
, derivamos
em relação a
:
Ou seja:
Passo 5
Agora, calculamos
:
A derivada de uma constante em relação a
é zero:
Passo 6
Da mesma forma, para
:
Derivando em relação a
:
Passo 7
Então, agora temos todas as componentes da velocidade:
Ou de forma simplificada:
Resposta
O campo de velocidade transiente é dado por: