Dadas as seguintes equações de trajetória para uma partícula qualquer em um escoamento fluido:
& x1=(8 k+X1) t+X1 t^2 & x2=2 X2 & x3=6 X3
Onde k é uma constante. Encontre o campo de velocidade transiente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me enviou um exercício que trata das equações de trajetória de uma partícula em um escoamento fluido. Nosso objetivo é encontrar o campo de velocidade transiente dessa partícula. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cinemática dos fluidos e cálculo, especificamente a derivação em relação ao tempo das equações de posição.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são as equações de trajetória que você forneceu:
& x1=(8 k+X1) t + X1 t^2 & x2=2 X2 & x3=6 X3
Aqui, , e representam as posições da partícula nos eixos , e respectivamente, em função do tempo . As letras maiúsculas , e são constantes que identificam a partícula no escoamento.

Passo 3

O campo de velocidade transiente descreve como a velocidade da partícula varia no tempo. Para encontrá-lo, precisamos calcular a derivada das posições em relação ao tempo, ou seja, encontrar , e .

Passo 4

Vamos começar calculando x1 = (8k + X1) t + X1 t^2 :
u1 = dx1dt = (8k + X1) + 2 X1 t
Para encontrar u1 = 8k + X1 + 2 X1 t , derivamos em relação a :
Ou seja:

Passo 5

Agora, calculamos x2 = 2 X2 :
u2 = dx2dt = 0
A derivada de uma constante em relação a é zero:

Passo 6

Da mesma forma, para x3 = 6 X3 :
u3 = dx3dt = 0
Derivando em relação a :

Passo 7

Então, agora temos todas as componentes da velocidade:
u = (8k + X1 + 2 X1 t) i + 0 j + 0 k
Ou de forma simplificada:
u = (8k + X1 (1 + 2t)) i

Resposta

O campo de velocidade transiente é dado por:
u = (8k + X1 (1 + 2t)) i

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